حل المعادلات التربيعية بطريقة ناتج الصفر

‫أهلا كيم! هل ترين العدد اثنا عشر هناك؟‬ هل تعرفين كيفية تقسيمه إلى عدة عوامل؟ نعم، لقد تعلمت هذا. إثنا عشر تساوي ثلاثة ضرب أربعة. ولأن أربعة تساوي إثنان ضرب إثنان يمكننا كتابتها هكذا: إثنا عشر تساوي ثلاثة ضرب اثنان ضرب اثنين. ما قمنا به الآن يسمى بالتحليل إلى عوامل، أو، التعميل. أخذنا الرقم إثنا عشر وكتبناه في شكل ناتج ثلاثة عوامل. يمكننا تعميل كل الأعداد المركبة، أي، الأعداد غير الأولية، ولكن يمكننا أيضا تعميل التعبيرات الرياضية. مثلا، انظر إلى التعبير X تربيع زائد ثلاثة X. لدينا حدين في التعبير، وكلاهما به العامل X في المشترك. لذا يمكننا أخذ X وكتابة التعبير كالتالي: X ضرب "X زائد ثلاثة" بين قوسين. كتبنا التعبير كناتج العوامل X وX زائد ثلاثة. لقد قمنا بتعميل التعبير. لنأخذ مثالا آخر. هل يمكننا تعميل التعبير "إثنان X تربيع" زائد "ثمانية X" زائد ثمانية؟ كل الحدود بها العامل اثنان في المشترك. لذا يمكننا إزالة اثنان، فيصبح التعبير اثنان - افتح القوس - "X تربيع" زائد "أربعة X" زائد أربعة - أغلق القوس. الآن انظر إلى التعبير بين القوسين. هل يذكرك النمط بشئ ما؟ هل تذكر القاعدة الأولى لتربيع المعادلة ذات الحدين؟ هناك فيلم عن ذلك. التعبير الذي نراه هنا به نفس النمط الذي نراه عند توسعة المعادلة ذات الحدين باستخدام القاعدة الأولى لتربيعها. لنجرب ذلك بالعمل عكسيا. ‏X تربيع زائد أربعة X زائد أربعة يساوي (X زائد إثنان) أس إثنان. هذا يعني أن التعبير الأول يمكن كتابته "إثنان ضرب X" زائد "إثنان أس إثنان" ونكون قد قمنا بالتعميل على عدة خطوات. ماذا عن هذا التعبير؟ هل يمكن تفعيله أيضا؟ يمكننا هنا استخدام القاعدة الثانية لتربيع المعادلة ذات الحدين، فنرى أن التعبير يساوي X ناقص أربعة أس إثنان. كيف نطبق هذا؟ يمكننا حل المعادلات من الدرجة الثانية باستخدام التعميل. نعود للتعبير الأول X تربيع زائد ثلاثة X. نجعل التعبير جانبا أيمنا لمعادلة جانبها الأيسر صفر. هكذا. كيف نحل المعادلة؟ كما سبق، نحلل إلى عوامل. في هذه الحالة يمكننا أخذ X ونكتب أن: X ضرب "X زائد ثلاثة" يساوي صفر. أي شئ مضروب في صفر دائما يساوي صفر. هذا يعني أنه إذا كان أي من العوامل يساوي صفر، فإن التعبير بأكمله يساوي صفر. وهكذا نحل المعادلة. إذا كانت X تساوي صفر، فإن التعبير بأكمله يساوي صفر. لذا فإن "X تساوي صفر" هو أحد حلول المعادلة. للحل التالي، لدينا "X زائد ثلاثة" تساوي صفر. هذا يعني أن X تساوي سالب ثلاثة، وهو الحل الثاني للمعادلة. مثال آخر باستخدام تعبير آخر رأيناه قريبا. إذا قلنا أن: إثنان X تربيع زائد ثمانية X زائد ثمانية تساوي صفر، فكيف نحل هذه المعادلة؟ عندما نحلل إلى عوامل، يصبح الجانب الأيسر: إثنان ضرب "X زائد إثنان" أس إثنان وهي أيضا تساوي صفر. يمكننا قسمة كل جانب على اثنان. نأخذ الإثنان من هناك… وصفر تقسيم اثنان يساوي صفر. هذا يعني أن "X زائد إثنان" أس إثنان أيضا تساوي صفر. اقتربنا من حل المعادلة عندما نكتب: ‏"X زائد اثنان" تساوي صفر. ‏X تساوي سالب اثنان. لذا علينا حل بعض المعادلات من الدرجة الثانية بتعميل التعبيرات. نبدأ بإعادة كتابة المعادلة بحيث يكون الجانب الأيمن صفر. ثم نرى إذ أمكننا تعميل الجانب الأيسر. نبحث عن أنماط مثل: مقام مشترك والإختلاف في التربيعات وقاعدتي تربيع ‫المعادلة ذات الحدين‬. إذا أمكننا التعميل، فيمكننا إيجاد حل المعادلة إذا أمكن ضبط أحد العوامل كصفر. نحل المعادلة! وهذا هو التعميل!