حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع

‫هناك طرق مختلفة لحل المعادلات من الدرجة الثانية. هذه طريقة أنيقة منها. إذا بذلت الوقت لفَهمها، ستتمكن من حل كل معادلات الدرجة الثانية بدون الحاجة لاستخدام أي صيغة.‬ ‫لننظر إلى هذه المعادلة. وهى X تربيع زائد أربعة X ناقص خمسة يساوي صفر.‬ سنحتاج لتوضيب المعادلة قبل استخدام هذه الطريقة.‬ ‫نريد تجميع كل حدود X في الجانب الأيسر، والحد الثابت في الأيمن.‬ ‫لدينا الآن X تربيع زائد أربعة X في اليسار — وخمسة في اليمين.‬ ‫المعادلة الآن في شكل يمكننا استخدامه.‬ ‫لكن ماذا تعني هذه الـ X تربيع زائد أربعة X التي في اليسار؟ أحد الطرق لفهم هذا هو بتوضيح المعادلة جزء تلو الآخر.‬ ‫أولا، لدينا X تربيع. يمكننا عرض ذلك كمربع كل جانب به هو X، فتكون مساحته X ضرب X، أي، X تربيع.‬ ثم هناك الحد أربعة X. هذا سيكون مستطيلا جوانبه X وأربعه.‬ ‫مساحته هي القاعدة ضرب الارتفاع، أي، أربعة ضرب X.‬ إذا جمعنا المربع مع المستطيل…‬ نحصل على مستطيل جديد مساحته X تربيع زائد أربعة X،‬ و X تربيع زائد أربعة X تساوي خمسة.‬ ‫قارن هذا بالمعادلة.‬ ‬"ا X تربيع زائد أربعة X تساوي خمسة.‬ ‫الآن يأتي الشئ الذكي… نأخذ مِقصا ونقطع مستطيلا صغيرا من المنتصف، فنحصل على مستطيلين رفيعين مساحة كل منهما إثنان X.‬ نحرك أحدهما ونضعه هنا.‬ ‫لم نقم بإزالة أو إضافة أي شئ. قمنا فقط بتحريك الأشكال.‬ ‫لذا فهذا الشكل له نفس مساحته المبدئية. ما زالت مساحته خمسة.‬ ‫الشكل الجديد يبدو كالمربع تقريبا، ولكن ليس بالضبط،‬ ‫فهناك شئ مفقود في ركن اليمين العلوي. ما هو المفقود؟‬ ‫ مربع صغير بجانبه إثنان!‬ ‫يمكننا استخدام هذا المربع الصغير لاستكمال الكبير. تسمى هذه الطريقة باستكمال المربع.‬ ‫إذا فما مساحة المربع الأكبر الجديد هذا؟‬ ‫أولا كان لدينا خمسة واكلمناها باثنان ضرب اثنان فالمساحة خمسة زائد أربعة وهذا يساوي تسعة.‬ ‫ولكن لحظة! هناك طريقة أخرى لشرح مساحة المربع: الجانب.. تربيع!‬ ‫كل جانب هو X زائد إثنان، لذا فالمساحة "X زائد إثنان" تربيع، وعرفنا أن هذا يساوي تسعة.‬ ‫باستكمال المربع قمنا بإعادة كتابة المعادلة التي كانت لدينا،‬ وهي X تربيع زائد أربعة X ناقص خمسة يساوي صفر،‬ ‫إلى X زائد إثنان تربيع يساوي تسعة.‬ ‫ها قد قمنا بالجزء الصعب،‬ ‫والآن نحل المعادلة،‬ ‫وعندما نحل معادلة باستخدام الجذر التربيعي، يكون هناك حلين محتملين. إذا X زائد اثنان تساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لتسعة، أي موجب أو سالب ثلاثة.‬ ‫"X-واحد" هي زائد اثنان يساوي موجب ثلاثة. ‫"X-إثنان" هي زائد اثنان يساوي سالب ثلاثة.‬ ‫لدينا حلان للمعادلة.‬ ‫X تساوي واحد،‬.‬ ‫وX تساوي سالب خمسه.‬ ‫وهكذا حللنا معادلة من الدرجة الثانية باستكمال المربع ‫لا نحتاج لرسم وتحريك مستطيلات على ورقه. يمكننا استخدام هذه الطريقة بأي شكل. أنظر:‬‫ لنحل المعادلة:‬ ‫إثنان X تربيع‬ ‫ناقص ثمانية X‬ ‫زائد ستة‬ ‫يساوي صفر.‬ ‫لنقم بهذا خطوة بخطوة. أوقف الفيلم حيثما احتجت لوقت إضافي للتفكير.‬ ‫الخطوة الأولى. يجب أن يكون المعامل أمام "X تربيع" واحد، لذا نقسم التعبير كله على اثنان، فنحصل على X تربيع ناقص أربعة X زائد ثلاثة يساوي صفر.‬ ‫الخطوة الثانية. نجمع كل حدود X في الجانب الأيسر والحد الثابت في الجانب الأيمن، فنعيد كتابة المعادلة إلى X تربيع ناقص أربعة X يساوي سالب ثلاثة.‬ ‫الخطوة الثالثة. نأخذ المعامل الذي أمام حد X، وهو سالب أربعة في هذه الحالة، ونقسمه من النصف، أي نقسمه على اثنان.‬ ‫الناتج هو سالب اثنان.‬ ‫الخطوة الرابعة… الاستكمال الحقيقي. نقوم أولا بتربيع سالب اثنان فنحصل على أربعة.‬ ‫نضيف ذلك إلى جانبي علامة يساوي، فنحصل على X تربيع ناقص أربعة X زائد أربعة يساوي سالب ثلاثة زائد أربعة يساوي واحد.‬ وانظر! هذا التعبير يبدو مألوفا. يمكننا استخدام قاعدة "تربيع المعادلة ذات الحدين"، ثم ننتقل إلى الخطوة الخامسة.‬ ‫نكتب المعادلة الآن كـ X ناقص إثنان تربيع والتي تساوي واحد.‬ ‫إذا X ناقص إثنان هي موجب أو سالب الجذر التربيعي لواحد، وهو موجب أو سالب واحد.‬ ‫"X-واحد" هي زائد واحد زائد اثنان يساوي ثلاثة، ‫و"X-إثنان" هي سالب واحد زائد اثنان يساوي واحد،‬ ‫ونكون قد حللنا المعادلة بطريقة… نعم… إستكمال المربع.