المسافة بين نقطتين

هاتين نقطتين. كم تبعدان عن بعضهما؟ كيف نقيس المسافة بين A وB؟ يمكننا استخدام المسطرة أو شريط القياس. إذا كنت تشاهد هذا الفيلم عبر هاتفك، واستخدمت مسطرة، ستحصل على اثنان ونصف سنتيمتر. إذا كنت تشاهده على شاشة عرض، واستخدمت مسطرة، ستحصل على 55 سنتيمتر. هذه نتيجة مختلفة. هل هناك طريقة أفضل؟ يمكننا حساب المسافة بدلا من قياسها. لحساب المسافة، نحتاج إلى نظام إحداثيات. أها! النقطتان الآن في نظام إحداثيات. يمكن قراءة x للنقطة A، أسفلها مباشرة على المحور x: وهي 5، ونفس الشيء للنقطة B. نقرأ 1 أسفل النقطة B مباشرة على المحور x. الفرق هو 5 ناقص 1، أي 4. المسافة هي 4. لكننا لا نعرف ما إن كانت سنتيمترا أو مترا أو أية وحدة قياس أخرى للطول، لذا نقول ببساطة، أن الإجابة 4 وحدات للطول. لكن ماذا إن وضعنا النقطتين هنا؟ إذا نظرنا إلى الفرق في قيمة x بين النقطتين، فستكون الإجابة: صفر وحدة طول. لكننا نرى على المحور الآخر Y، أن قيمة النقطة A هي اثنان، وقيمة النقطة B هي سالب واحد. إذا فالفرق يكون اثنان ناقص سالب واحد، وبما أن سالب وسالب يساوي موجب، يكون الفرق 2 زائد 1، يساوي 3 وحدة طول. هذا يبدو سهلا. لكن ماذا إن لم يكن الخط بين النقطتين متوازيا مع أي من المحورين x وy؟ كأن تكونا هنا مثلا؟ إحدى النقطتين تقع فوق المحور X، والأخرى في الأسفل بانحراف. حاول قراءة المحور x. أربعة. لا. هذا سيكون أقصر، صحيح؟ ماذا عن المحور Y؟ ثلاثة؟ لا، قصير أيضا. كيف؟ إليك هذه الخدعة! قم بعمل مثلث قائم الزاوية. أرسم المسافة التي يجب قياسها كخط يربط بين النقطتين. من A إلى B. ثم ارسم من B، خطا لليمين، موازيا للمحور x، وخطا من A للأسفل حتى يلتقي مع الخط الأول. هكذا تكون المسافة بين النقطتين هي الضلع الطويل من هذا المثلث قائم الزاوية. يسمى هذا الضلع بالوتر، ويمكننا قراءة هاتين المسافتين بسهولة، على المحورين x وy. الضلعان الصغيران للمثلث قائم الزاوية يسميان بالساقين. ألا يبدو هذا مألوفا؟ الوتر والساقين والمثلث قائم الزاوية؟ نظرية فيثاغورس! يمكننا حساب الوتر، وهو الطول الذي أردنا حسابه، باستخدام نظرية فيثاغورس. قيمة النقطة A هي 5 على المحور x و2 على المحور y. نوضح ذلك من خلال كتابة 5 و2 بين قوسين، حيث القيمة الأولى هي x، والثانية هي y. عند النقطة B، x = 1 و y = -1. طول إحدى الساقين، ولنسميه 'a' مثلا، قد حسبناه من قبل وهو 4. طول الساق الأخرى، ولنسميها 'b'، عرفناه سابقا وهو 3. طبقا لنظرية فيثاغورس، فإن c تربيع تساوي a تربيع زائد b تربيع. مربعا الضلعين a وb هما: 4 ضرب 4 يساوي 16، و3 ضرب 3 يساوي 9. إذا، c تربيع تساوي 16 زائد 9، أي 25. أُحسب الجذر التربيعي لـ c تربيع لتحصل على المسافة c، وهي طول المسافة بين النقطتين. جذر 25 يساوي 5. المسافة بين النقطتين A وB هي 5 وحدات طول. هذا جيد! يمكننا الآن قياس المسافة بين نقطتين في نظام الإحداثيات. فيم نستخدم هذا؟ حسن، أنظر هنا. يمكننا استخدام هذه الطريقة لحساب مسافة ما على الخريطة، فالخريطة عبارة عن نظام إحداثيات ضخم، لكن على الخريطة نسمي المحور x بخط الطول، والمحورَ y بخط العرض.