Irrationale Zahlen

Wenn du über natürliche Zahlen, ganze Zahlen und rationale Zahlen bereits Bescheid weißt, bist du bereit für den nächsten Schritt: die Menge der irrationalen Zahlen. Erinnerst du dich, dass eine rationale Zahl als Bruch geschrieben werden kann? Mathematiker im antiken Griechenland glaubten lange, dass alle Zahlen als Quotient von zwei ganzen Zahlen beschrieben werden könnten. Eines Tages, vor etwa 2500 Jahren, entdeckte ein Mann, der vielleicht Hippasos von Metapont genannt wurde, dass dies nicht ganz richtig ist. Er erkannte, dass es Zahlen gibt, die man nicht als Bruch schreiben kann.

Oder sich überhaupt nicht richtig beschreiben lassen! Diese Entdeckung machte die anderen Mathematiker so wütend, dass sie Hippasos töteten oder verbannten. Wir wissen nicht genau, was geschah, aber sie waren alles andere als glücklich. Zahlen, die nicht rational sind, werden als irrational bezeichnet. Nicht, dass sie sich merkwürdig oder unlogisch verhalten würden, sie können einfach nur nicht als Brüche geschrieben werden.

Eine der irrationalen Zahlen kennst du wahrscheinlich schon. Dies ist der griechische Buchstabe Pi. Er beschreibt das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und seinem Durchmesser. Andere Beispiele für irrationale Zahlen: die Quadratwurzel aus 2, die Eulersche Zahl "e" und der Goldene Schnitt. Es gibt natürlich noch viel mehr irrationale Zahlen.

Unendlich viele, um genau zu sein. Wenn du Dezimalzahlen verwendest, ist es möglich, zwischen rationalen und irrationalen Zahlen zu unterscheiden. Eine rationale Zahl im Dezimalformat weist entweder eine endliche Anzahl von Stellen nach dem Komma auf, etwa 3/4 oder 7/8, oder die Stellen wiederholen sich, wie bei 1/3, 5/9, 9/11 oder 7/12. Irrationale Zahlen haben hingegen stets eine unendliche Anzahl von Dezimalstellen, die sich nicht wiederholen. Die Quadratwurzel aus den meisten Zahlen ist irrational, außer von perfekten Quadratzahlen.

1, 4, 9, 16 usw. sind die Quadratzahlen von 1, 2, 3 und 4. Dies sind Beispiele für perfekte Quadratzahlen. Quadratwurzeln von perfekten Quadratzahlen sind rationale Zahlen, aber alle anderen Quadratwurzeln sind irrationale Zahlen. Hier ist ein interessanter Fakt über irrationale Zahlen: Eine Zahlengerade kann zwischen zwei ganzen Zahlen unendlich viele rationale Zahlen enthalten.

Dennoch gibt es Zahlen, die sich nicht als Brüche schreiben lassen: das sind die irrationalen Zahlen. Es gibt immer Löcher in der Zahlengeraden, die noch nicht einmal mit einer unendlichen Anzahl von rationalen Zahlen gefüllt werden können. Um diese Löcher zu füllen, benötigst du irrationale Zahlen und davon gibt es auch unendlich viele. Rationale und irrationale Zahlen zusammen füllen alle Löcher der Zahlengeraden aus und verbinden sie. Rationale und irrationale Zahlen zusammen werden reelle Zahlen genannt.

Daher läuft die Zahlengerade manchmal auch unter dem Namen "reelle Zahlengerade". Die Menge der reellen Zahlen wird durch ein großes "R" symbolisiert. Hier ist eine Zahlengerade. Reelle Zahlen füllen jeden Punkt ohne Löcher aus. Ganze Zahlen sind Teil der Menge der reellen Zahlen.

Positive ganze Zahlen und die Zahl 0 sind natürliche Zahlen. Der Rest der rationalen Zahlen, die als Brüche geschrieben werden können, liegen zwischen den ganzen Zahlen. Und irrationale Zahlen, die nicht als Brüche geschrieben werden können, sind inmitten der rationalen Zahlen hineingequetscht. Rationale und irrationale Zahlen decken jeden Punkt der Geraden ab. Sie werden reelle Zahlen genannt.

Das ganze Bild enthält alle reellen Zahlen. Irrationale und rationale Zahlen sind separate Zahlenmengen. Allein rationale Zahlen enthalten ganze Zahlen und natürliche Zahlen. Auf dieser Seite des Bildes sind die kleineren Zahlenmengen in der nächstgrößeren enthalten.