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Das binäre Zahlensystem
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Wo wird das Dualsystem verwendet?
Maria und Lina spielen nach der Schule häufig zusammen Fußball. Sie wohnen gegenüber voneinander. Beide haben eine Lampe im Küchenfenster stehen. Maria kann Linas Lampe sehen und Lina Marias. Leuchtet eine Lampe, ist das ihr Geheimcode für: Komm zum Fußballplatz!
Manchmal gehen sie lieber schwimmen als Fußball zu spielen. Lina hat vorgeschlagen, dass beide eine weitere Lampe ins Fenster stellen sollten. Das würde heißen: Bin am Strand! Das ist wichtig! Hast du dir darüber Gedanken gemacht?
Mit einer dritten Lampe in unseren Fenstern könnten wir etwa sagen: Filmabend bei mir? Wir brauchen gar keine weitere Lampe. 2 sind genug. Leuchten BEIDE Lampen, heißt das: Filmabend bei mir! Clever!
Wir haben schon 3 Lampen. Oder besser gesagt: 3 Nachrichten, mit nur 2 Lampen. Wie viele Nachrichten könnten wir mit einer dritten Lampe senden? Schauen wir mal! Ich schreibe es so.
1. Nachricht: Erste Lampe an! Fußball – so viel ist klar. 2. Nachricht: Zweite Lampe an!
Der Strand? 3. Nachricht: Erste und zweite Lampe an! Film schauen – wie vereinbart. 4.
Nachricht: Nur die dritte Lampe an! Was soll das bedeuten? Lernen? Ist zwar langweilig, aber wir wollen doch Klassenbeste bleiben, oder? Okay!
Wow, drei Lampen können so viel bedeuten! 5: Erste und letzte Lampe an! 6: Die letzten beiden Lampen an! 7: Alle drei an! 7 verschiedene Kombinationen mit 3 Lampen.
Es können auch alle ausgeschaltet sein. Wenn alle Lampen aus sind, heißt das: Heute nicht? Klasse! Das sind 8 Kombinationen. 3 Lampen, 8 Nachrichten.
Maria und Lina haben gerade das Dualsystem oder Binärsystem entdeckt. Das Dualsystem – oder Basis 2 – ist auf 2 Zahlen statt auf 10 aufgebaut, wie wir es kennen. Auch wenn Maria und Lina hier 'Ein' und 'Aus' anstelle von Zahlen verwenden, die Funktionsweise ist dieselbe. Die Anzahl der Nachrichten, die Lina und Maria mit ihren Dualsystem senden können, ist 2 hoch der Anzahl der Lampen im Fenster. 2³ = 8.
Mit einer 4. Lampe könnten sie 16 Nachrichten senden. Mit 5 Lampen hätten sie sogar 32 Optionen. Mit jeder neuen Lampe verdoppelt sich die Anzahl der möglichen Kombinationen. Stell es dir so vor: Als die dritte Lampe hinzukam, blieb sie erst ausgeschaltet.
Dennoch konnten die Kombinationen der anderen beiden Lampen durchgeführt werden. Dann schalteten sie die neue Lampe an und führten wieder alle alten Kombinationen durch. Vergleiche die obere und untere Hälfte der Tabelle. Abgesehen von der linken Lampe sind sie gleich. Diese Art der Codierung von Informationen mit der Basis 2 – 'Ein' oder 'Aus' – ist geläufiger, als du vielleicht denkst.
Die Elektronikbauteile in deinem Computer und Telefon bearbeiten alle Informationen so. Wir schreiben es in der Regel auf diese Weise: mit Einsen und Nullen. Das Dualsystem ist, wie das normale Dezimalsystem, ein Zahlensystem, in dem jede Position oder Stelle einen Wert hat. Die Stelle auf der rechten Seite hat einen Wert von 1 – wie immer. Doch anstatt von Zehnern haben wir hier Zweier.
Und Vierer anstelle von Hundertern. Schau in die Zeile, die für 5 steht. Dort stehen 1 Vierer, 0 Zweier und 1 Einer. 4 + 1 = 5. Hier ist ein kniffligeres Beispiel: eine fünfstellige, binäre Zahl.
Der ganz linke Positionswert ist 16. Als nächstes kommt 8, dann 4, 2 und 1. Die binäre Zahl 10100 bedeutet 1 Sechzehner- 0 Achter-, 1 Vierer-, 0 Zweier- und 0 Einer-Ziffern. 16 + 0 + 4 + 0 + 0 = 20. Die Basen hängen mit dem Positionswert und Exponenten zusammen.
Wenn du diese Begriffe verinnerlicht hast, kann dir diese Tabelle helfen, Basen zu verstehen. Schau: Jeder Positionswert kann als Exponent geschrieben werden, wobei die Grundzahl des Exponenten die Basis darstellt. Und da wir das Binärsystem verwenden, ist die Basis 2. Als Potenz verwenden wir die Position und beginnen mit der Null ganz rechts. Basis hoch Position ist gleich Positionswert.
Den Wert der binären Zahl erhältst du nun, indem du den Positionswert mit der Zahl auf dieser Stelle multiplizierst und dann alles addierst. So wie hier: 1 ⋅ 16 – wir schreiben die Sechzehner als 2⁴ – + 0 Achter + 1 Vierer – die schreiben wir als 2² – + 0 Zweier + 0 Einer = 20! Schau, wie die Einer geschrieben werden: Als 2⁰. Jede Zahl hoch 0 ergibt 1. Das klingt ein wenig kompliziert, aber wenn du die Zahl so schreibst hilft dir das, den Bezug zum Dezimalsystem zu verstehen.
Zum Vergleich können wir Dezimalzahlen in derselben Weise schreiben: Jeder Positionswert wird als Exponent geschrieben. Diese Potenzform ist, so wie auch die Grundzahl mit Basis 10 geschrieben. Und der Exponent drückt die Position aus. Es gibt 0 Zehntausender, 0 Tausender und 0 Hunderter. Dann kommen die Zehner – davon gibt es 2.
Und dann 0 Einer. Die Summe ist 20. 10100 im Binärsystem entspricht im Dezimalsystem also der Zahl 20. Das sieht alles sehr verwirrend aus. Um zwischen den einzelnen Zahlensystemen zu unterscheiden, schreiben wir die Basis hinter die Zahl.
Ansonsten könnten Missverständnisse auftreten. Missverständnisse können aber auch Spaß machen. Wie etwa auf Linas neuem T-Shirt. Schau dir das Bild aufmerksam an und nimm dir Zeit, die Aufschrift zu lesen und zu verstehen.