Potenzen und Exponenten

Du weißt, dass wir Potenzen verwenden, um wiederholte Multiplikationen auszudrücken. Und dass wir die Basis so oft mit sich selbst multiplizieren wie es der Exponent anzeigt, nicht wahr? Heute behandeln wir Rechenoperationen mit Potenzen. Fangen wir mit Multiplikationen an. Das Multiplizieren von zwei Potenzen mit der gleichen Basis ist einfach.

Schau mal, 3² ⋅ 3³ = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3. Das ist 3, fünfmal mit sich selbst multipliziert. Beachte die Exponenten Du erhältst die Antwort, indem du die Exponenten addierst. 2 + 3 = 5. 3² ⋅ 3³ = 3⁵.

Die Division von Potenzen funktioniert genau so. Eine durch eine wiederholte Multiplikation geteilte wiederholte Multiplikation kann gekürzt werden. Entferne die Faktoren im Zähler und Nenner; über dem Bruchstrich genauso viele wie darunter. Da wir zwei Reihen an sich wiederholenden Faktoren haben fällt die kürzere Reihe komplett weg. Dadurch ergibt sich: (4 ⋅ 4) / 1.

Oder einfach 4 ⋅ 4. Oder 4². Der Exponent im Nenner zeigt, wie viele Faktoren du vom Zähler entfernen kannst. Du musst also nur den Exponenten im Nenner vom Exponenten im Zähler subtrahieren. Die Multiplikation und Division von Potenzen mit der gleichen Basis entspricht der Addition oder Subtraktion von Potenzen.

Bei Multiplikation: x^a ⋅ x^b = x^(a + b). Und bei Division: x^a : x^b = x^(a - b). Soweit das erste und zweite Potenzgesetz. Jetzt wird es ein wenig kompliziert. Was passiert, wenn du eine Potenz noch einmal potenzierst?

Nehmen wir 2 als Beispiel: Potenziere die Zahl mit 3 und quadriere dann das Ergebnis: (2³)². Schreibe den Term als wiederholte Multiplikation aus, um zu erkennen was los ist. Das Potenzieren einer Potenz ist das Gleiche wie das Multiplizieren der Exponenten. Dies ist das dritte Potenzgesetz: (x^a)^b = x^(a ⋅ b). Hier ist ein interessantes Beispiel.

Du weißt, dass eine durch sich selbst geteilte Zahl eins ergibt, nicht wahr? Und jetzt weißt du auch, dass das zweite Potenzgesetz besagt, dass die Division von Potenzen mit derselben Basis das Gleiche ist wie die Subtraktion der Exponenten im Nenner von den Exponenten im Zähler. x⁴ : x⁴ muss eins ergeben, da wir die gleiche Zahl im Zähler und im Nenner haben. Aber es muss auch x⁰ entsprechen, denn es ist x^(4 - 4) was wiederum x⁰ entspricht. Dies bedeutet, dass x⁰ = 1 ist.

In der Tat ist jede beliebige Zahl hoch 0 gleich 1. Dies ist das vierte Potenzgesetz. Potenzen bestehen aus einer Basis und einem Exponenten. Die Basis wird mit sich selbst multipliziert und zwar so oft, wie der Exponent es vorgibt. Wenn du Potenzen mit der gleichen Basis multiplizierst, addierst du die Exponenten.

Wenn du Potenzen mit der gleichen Basis dividierst subtrahierst du die Exponenten. Die Potenz einer Potenz: Eine potenzierte Potenz wird durch das Multiplizieren der Exponenten berechnet. Jede positive Zahl mit dem Exponenten 0 ist gleich 1.