Proportionalität

Wenn du noch nichts über das Koordinatensystem gelernt hast, geh das am besten zuerst an. Es gibt ein paar Dinge, die du wissen musst, um Geraden in einem Koordinatensystem zu verstehen. Zwei Punkte in einem Koordinatensystem können durch eine Gerade verbunden werden. Damit können wir darstellen, wie zwei Dinge miteinander verbunden sind, zum Beispiel, wie sich Werte im Laufe der Zeit verändern. Die Anzahl der Kuchen, die Maria verkauft hat, kann durch einen Punkt im Koordinatensystem dargestellt werden.

Die Y-Achse stellt die Gesamtzahl der verkauften Kuchen dar. Und die X-Achse die Zeit in Tagen. Wie wir sehen, hat Maria zum Ende des ersten Tages einen Kuchen verkauft, zum Ende des zweiten Tages zwei Kuchen, und so weiter. Maria verkauft also einen Kuchen pro Tag. Michael verkauft auch Kuchen.

Hier sind seine Ergebnisse. Michaels Gerade ist nicht so steil wie Marias. Das sagt uns, dass Michael langsamer verkauft als Maria. Monika fängt auch an, Kuchen zu verkaufen. Und sie verkauft eine Menge.

Ihre Gerade ist steiler als die beiden anderen. Wir nennen das die Steigung einer Geraden, oder wenn wir besonders gebildet klingen wollen, den Gradient. Wenn die X-Achse die Zeit abbildet, dann zeigt die Steigung die Änderungsrate also wie schnell sich etwas im Laufe der Zeit verändert. Man kann sagen, die Ergebnisse der drei Kuchenverkäufer sind direkt proportional zur Zeit. Denn die Verkäufe steigen mit jedem Tag um den gleichen Betrag.

Schreiben wir das in eine Gleichungsform: Marias Gesamtumsatz ist gleich 1 Kuchen mal der Anzahl der vergangenen Tage. Die Anzahl der Tage sind auf der X-Achse. Schreiben wir also 1 mal X. Und da es genau ein X ist, brauchen wir die Zahl nicht zu schreiben. Der Gesamtumsatz wird auf der Y-Achse dargestellt, wir schreiben Y also hierhin.

Die Funktion Y gleich X beschreibt Marias Verkäufe. Monika verkauft jeden Tag zwei Kuchen. Ihre Verkäufe sind auch direkt proportional zur Zeit, aber sie verkauft doppelt so viel pro Tag. Ihr Gesamtumsatz, Y, ist gleich 2 mal der Anzahl der Tage. Y gleich zwei X.

Michael verkauft im Durchschnitt jeden zweiten Tag einen Kuchen. oder einen halben Kuchen pro Tag. Wenn wir den Gesamtumsatz mit Y bezeichnen und die Zeit mit X, so erhalten wir die Funktion Y gleich null Komma fünf X. Das sind drei Gleichungen, die beschreiben, wie sich etwas – Kuchenverkäufe – ändert als Funktion eines anderen Elements – der Zeit. Die Funktion schreiben wir als Y gleich M X, wobei M die Steigung ist.

M sagt uns, um wie viel sich Y jedes Mal ändert, wenn wir X um eins erhöhen. In einem Koordinatensystem beschreibt die Gleichung Y gleich M X immer eine Gerade, die durch den Ursprung geht.