Gleichungen mit Exponenten und Wurzelausdrücken

Wenn du eine Gleichung lösen möchtest und dabei Terme und Faktoren von beiden Seiten beseitigen musst, ist es von Nutzen, dass mathematische Rechenzeichen Gegensätze haben. Um, zum Beispiel, +5 loszuwerden, setzt du auf beiden Seiten -5 ein. Und um 1/3 loszuwerden, multiplizierst du einfach beide Seiten mit 3. Die mathematischen Rechenzeichen haben Gegensätze, die beim Lösen von Gleichungen sehr nützlich sind. Potenzen und Wurzeln geben ein gutes Beispiel für ein weiteres Gegensatzpaar.

Angenommen, du sollst einen Kreis mit einer Fläche von 113 Quadratzentimetern erstellen und du brauchst den Radius. Du weißt, dass die Fläche eines Kreises so berechnet wird: Pi ⋅ Radius². Da wir die Fläche kennen, setzen wir sie in die Gleichung ein. Teile beide Seiten durch Pi, denn das isoliert den Radius, die unbekannte Variable, auf einer Seite. Wir vereinfachen die rechte Seite, um Pi zu entfernen, dann vereinfachen wir die linke Seite auf 113 / Pi.

Pi ist keine unbekannte Größe – es ist eine Konstante, deren Wert wir schon kennen. 113 / Pi, oder 3,14, ist ungefähr = 36. Aber was tun wir jetzt? Der Radius² beträgt 36. Wie groß ist der Radius also?

Hmm, das Gegenteil einer Potenz ist eine Wurzel. Also ziehen wir die Quadratwurzel aus der gesamten linken und rechten Seite der Gleichung. Die Gleichung ist immer noch ausbalanciert, und nun fängt die mathematische Magie an. Schau mal auf die rechte Seite: Die Quadratwurzel von r² = r! Die Quadratwurzel sagt dir, welche Zahl, mit sich selbst multipliziert, die Zahl ergibt, die wir hier haben.

Und die Zweierpotenz signalisiert dir, welche Zahl hier mit sich selbst multipliziert wurde. Beide Rechenzeichen heben sich so gegenseitig auf. Alles, was übrig bleibt, ist die Quadratwurzel aus 36. Und die ist 6, denn 6 ⋅ 6 = 36. r = 6.

Ein Kreis mit einer Fläche von 113 Quadratzentimetern hat einen Radius von 6 Zentimetern. Es funktioniert auch umgekehrt. Falls du dir an einer Gleichung den Kopf zerbrichst, die so aussieht: Quadratwurzel aus x = 8 dann quadriere die Gleichung einfach, um die Quadratwurzel zu entfernen. Quadriere unbedingt beide Seiten – das heißt, multipliziere sie mit sich selbst. Moment mal!

Du weißt, dass du links und rechts vom Gleichheits- zeichen dieselben Rechenvorgänge tätigen musst! Und hier multiplizieren wir die linke Seite mit der Quadratwurzel aus x aber die rechte Seite mit 8. Das ist doch nicht das gleiche, oder? Doch, ist es! Schau dir mal die Zeile darüber an.

Da heißt es: Quadratwurzel aus x = 8. Wenn wir also beide Seiten quadrieren, multiplizieren wir sie doch mit dem gleichen Wert. Dann müssen wir nur noch vereinfachen. Die Quadratwurzel aus x² ergibt x. Und 8² = 64.

x = 64. Denk beim Lösen von Gleichungen immer an diese beiden Tipps: Beseitige die Zweierpotenz aus einer quadrierten Variable, indem du die Quadratwurzel ziehst. Und wenn du mit einer Variable unter'm Quadratwurzelzeichen kämpfst, quadriere sie einfach.