Der Satz des Pythagoras

Dies ist Pythagoras. Eine weitere Lichtgestalt der ​alten Griechen​. Er lebte ein paar Jahrhunderte vor Euklid, vor rund 2500 Jahren auf der Insel Samos, in der griechischen Ägäis. Pythagoras war ein Mathematiker und Philosoph. Heute ist er am besten bekannt für den ​Satz des Pythagoras​.

Das ist eine mathematische Formel, die die Beziehung der 3 Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks zueinander beschreibt. Es gibt Hinweise darauf, dass diese Beziehung in Griechenland bereits bekannt war, als Pythagoras sie aufschrieb. Mathematiker in China und Indien hatten sie wahrscheinlich selbst entdeckt, vielleicht sogar früher. Dennoch nennen wir diese Formel den ​Satz des Pythagoras​.​ Und so sieht er aus, wenn du ihn zeichnest – Der Satz des Pythagoras: Beginne mit einem rechtwinkligen Dreieck. Zeichne ein Quadrat auf jede seiner 3 Seiten.

Addierst du die Flächeninhalte der beiden kleineren Quadrate zusammen, erhältst du die gleiche Fläche wie das größte Quadrat. Halte das Video an und zähle die Kästchen, um dich zu vergewissern. Das größte Quadrat misst 5 ⋅ 5, 25 Kästchen. Das mittlere misst 4⋅4, 16 Kästchen. Und das kleinste ist 3 ⋅ 3, also 9 Kästchen groß.

25 = 16 + 9. Oder allgemeiner: Das Quadrat der längsten Seite entspricht der Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten. Das gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke. Hier sind zwei Definitionen, über die du Bescheid wissen solltest: Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse​. Und die beiden kürzeren Seiten werden​ Katheten genannt.

Wir bezeichnen die Hypotenuse häufig mit dem Buchstaben c und die beiden Katheten mit den Buchstaben a und b. Wir können nun den Satz des Pythagoras wie folgt schreiben: c² = a² + b². Um den Satz des Pythagoras zu verwenden, musst du in der Lage sein, Gleichungen zu lösen. Hier ist ein rechtwinkliges Dreieck. Wir kennen die Längen beider Katheten, nicht die der Hypotenuse.

Setzen wir die Werte in den Satz des Pythagoras ein. c² = 5² + 12². Berechne die Quadratzahlen. Addiere Sie. Jetzt kommt der interessante Teil.

Was machst du jetzt? Die Hypotenuse zum Quadrat = 169. Wie löst du eine Potenzform? Das Gegenteil von Potenzformen sind Wurzelformen. Also ziehen wir die Quadratwurzel aus beiden Seiten der Gleichung.

Die Quadratwurzel aus c² entspricht der Quadratwurzel aus 169. Die Quadrat wurzel aus c² = c. Deshalb verwenden wir die Wurzelform. Berechne die ​Quadratwurzel aus 169 mit deinem Taschenrechner, und du erhältst 13. Die Hypotenuse c = 13.

Der Satz des Pythagoras gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke, aber nicht für alle anderen Arten von Dreiecken. Das Quadrat der längsten Seite, der Hypotenuse, entspricht der Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten, der Katheten. Um ein Problem mit dem Satz des Pythagoras zu lösen, setzt du die vorhandenen Werte ein und löst die Gleichung. Ziehe die Q​uadratwurzel​aus beiden Seiten, nach dem du den ​unbekannten Quadratwert auf der einen Seite isoliert hast. Hier kommt ein Bonus für dich.

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck und gib beiden Katheten die Länge 1. Dann ist die Hypotenuse eine irrationale Zahl, nämlich die Quadratwurzel aus 2. Entdeckt wurde das von Hippasos von Metapont. Es verärgerte die Pythagoräer extrem, weil sie glaubten, dass alle Zahlen rational sein müssten. Schau dir die Lektion über irrationale Zahlen an und erfahre mehr dazu.