I första filmen om slump och sannolikhet singlade vi slant. Nu skall vi spela tärning.

Om tärningen blir fem eller sex, så vinner du. Om det blir fyra eller mindre, så vinner jag. Hur stor är sannolikheten att du vinner? Kommer du ihåg formeln för att räkna ut sannolikheten?

Antalet fall du vill veta sannolikheten för delat på antalet möjliga utfall.

Här har du 2 chanser att vinna delat med 6 möjliga utfall. Sannolikheten att du vinner är en tredjedel.

Två tärningar

Men vad händer om vi slår med två tärningar? Vad är sannolikheten att båda tärningarna visar en sexa?

Här ser du alla möjliga utfall. Trettiosex stycken. Och det finns bara ett enda gynnsamma utfall.

1 / 36 ≈ 0,028 ≈ 3%

Betingad sannolikhet

Ett annat sätt att visa vad som händer är att rita ett träddiagram.

Först ritar vi upp möjliga utfall med den ena tärningen. Sen, för vart och ett av dem utfallen, ritar vi möjliga utfall med den andra tärningen.

Trettiosex olika vägar. Bara en av de leder till två sexor.

Sannolikheten att den andra tärningen visar en sexa givet att den första också visar en sexa kallas för betingad sannolikhet.

Du ser på träddiagrammet att sannolikheten att slå en sexa med den första tärningen är en sjättedel. Och om den första tärningen redan visar sex, då är det en chans på sex att den andra också gör det. Det är alltså en sjättedels av en sjättedels chans att slå två sexor.

Exempel

Vi tar en till, lite svårare: Hur stor är sannolikheten att du slår en sexa med endast en av tärningarna?

Kika på träddiagrammet till höger.

Slå en sexa med den första tärningen, men inte med den andra. Eller slå inte en sexa med den första, men gör det med den andra. Har vi ritat upp ett trädiagram såhär så är det bara att räkna antalet färgade utfall och dividera på antalet möjliga utfall. Det är tio utfall av trettiosex möjliga. Eller ungefär 28%.

Men man kan också räkna sig fram till samma svar utan att rita upp ett diagram. Den betingade sannolikheten får man matematiskt genom att multiplicera sannolikheten att det första händer med sannolikheten att det andra. Kolla här.

Sannolikheten att slå en sexa med den första tärningen är 1/6. Sedan ska den andra tärningen inte bli en sexa, och sannolikheten för det är 5/6. Den betingade sannolikheten får vi genom att multiplicera.

(1/6) · (5/6) = 5/36

I de andra 5/6 gångerna när den första tärningen inte blir en sexa måste den andra tärningen slå en sexa. Och sannolikheten för det är 1/6. Även här multiplicerar vi.

(5/6) · (1/6) = 5/36

Alltså, 10 / 36. Kom ihåg att sannolikhet inte berättar vad som kommer hända, utan bara ger en fingervisning hur troligt något är att hända. Experimentera gärna med tärningar själv, och jämför med dina beräkningar.

Sammanfattning

Sannolikheten att A händer, givet att B först hänt, är betingad sannolikhet.
Den matematiska formeln är sannolikheten att A händer multiplicerat med sannolikheten att B händer.
Sannolikhet säger inte vad som kommer hända, bara hur troligt det är att något händer.

Bedingte Wahrscheinlichkeit