Quadratische Gleichungen durch Faktorisierung mit Null lösen

Hi Kim! Siehst du die 12 dort? Weißt du, wie man die Zahl in mehrere Faktoren zerlegt? Genau, das hast du schon gelernt. "12" ist gleich "3" ⋅ "4". Und weil "4" = "2 ⋅ 2" ist, kannst du es auch so schreiben: "12" ist gleich "3" ⋅ "2" ⋅ "2".

Das nennt man Zerlegung oder Faktorisierung. Du schreibst die Zahl 12 als ein Produkt aus drei Faktoren. Du kannst alle zusammengesetzten Zahlen zerlegen oder faktorisieren – anders gesagt: Zahlen, die keine Primzahlen sind – aber auch ganze mathematische Ausdrücke lassen sich faktorisieren. Nimm zum Beispiel den Ausdruck "x²" + "3x". In diesem Ausdruck finden sich zwei Terme, und beide Terme haben den Faktor "x".

Du kannst also "x" herausnehmen und den Ausdruck wie folgt ausklammern: "x" ⋅ – Klammer auf – "x + 3" – Klammer zu. So schreibst du den Ausdruck als ein Produkt der Faktoren "x" und "x + 3". Du hast den Ausdruck faktorisiert. Hier kommt ein weiteres Beispiel. Kannst du den Ausdruck "2 x²" + "8 x" + "8" faktorisieren?

Alle Terme haben den Faktor "2". Wir können also '2' ausklammern, dann ergibt die Gleichung: "2" – Klammer auf – "x²" + "4 x" + "4" – Klammer zu. Schau dir nun den Ausdruck in den Klammern an. Erinnert dich das Muster an etwas? Kennst du noch die erste binomische Formel?

Dazu gibt es ein anderes Video. Dieser Ausdruck hier hat das gleiche Muster, das du siehst, wenn wir ein Binom mit Hilfe der ersten binomischen Formel zerlegen. Versuche es mal, indem du rückwärts rechnest. "x²" + "4 x" + "4" ist gleich "x + 2" ². Der erste Ausdruck lässt sich also wie folgt schreiben: "2" ⋅ "x + 2" – "²". Das ist eine Faktorisierung in mehreren Schritten.

Und dieser Ausdruck: Lässt er sich auch faktorisieren? Hier kannst du die zweite binomische Formel nutzen. Dann ergibt der Ausdruck: "x - 4" ². Wie kann man das anwenden? Quadratische Gleichungen lassen sich faktorisieren.

Nochmal zurück zum ersten Ausdruck: "x²" + "3 x". Wir machen aus dem Ausdruck die linke Seite einer Gleichung und setzen die rechte Seite gleich 0 – genau so. Wie löst man die Gleichung? Indem du sie wie vorher faktorisierst. In diesem Fall klammerst du x aus und schreibst dann: "x" ⋅ "x + 3" = 0.

Alles, was man mit 0 multipliziert, ergibt immer: 0. Ist also einer der Faktoren = 0, dann ist der gesamte Ausdruck 0. Und so findest du die Lösung der Gleichung. Wenn x = 0 ist, dann ist der ganze Ausdruck = 0. "x = 0" ist also eine der Lösungen der Gleichung. Für die nächste Lösung nimmst du den Term "x + 3" = 0.

In anderen Worten: "x" = "- 3" ist die zweite Lösung der Gleichung. Hier ist noch ein Beispiel mit einem anderen Ausdruck, den du schon kennst: "2 x²" + "8 x" + "8" = 0. Wie löst du diese Gleichung? Wenn du sie faktorisierst, sieht die linke Seite so aus: "2" ⋅ "x + 2" – "²". Und auch das ergibt "0".

Du kannst beide Seiten durch 2 teilen. Entferne die "2" hier. Und "0" / "2" ist nach wie vor: "0". "x + 2" – "²" – ergibt also auch "0". Mit "x + 2" = "0" bist du der Lösung der Gleichung schon sehr nahe. "x" = "- 2". Manche quadratische Gleichungen kann man also durch Faktorisierung ihrer Ausdrücke lösen.

Schreibe die Gleichung zuerst so um, dass die rechte Seite 0 ergibt. Versuche dann, die linke Seite zu faktorisieren. Suche dabei nach Dingen wie: einen gemeinsamen Nenner, einer Differenz von Quadratzahlen und den binomischen Formeln. Ist eine Faktorisierung möglich, kannst du die Gleichung lösen, wenn sich einer der Faktoren gleich "0" setzen lässt. Dann löse die Gleichung!

Und genau das ist Faktorisierung!