Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen. Diese hier ist ziemlich elegant. Wenn du dir Zeit nimmst sie wirklich zu verstehen, kannst du alle quadratischen Gleichungen lösen, ohne irgendeine Formel zu verwenden. Schauen wir uns diese Gleichung an. x² + 4x - 5 = 0.

Bevor wir diese Methode verwenden, räumen wir die Gleichung etwas auf. Sammeln wir alle Terme mit x auf der linken Seite und die Konstante auf der rechten Seite. Wir haben jetzt x² + 4x auf der linken Seite und 5 auf der rechten Seite. Jetzt ist die Gleichung in einer Form, die wir verwenden können. Dieses x² + 4x auf der linken Seite: was bedeutet das genau?

Das können wir besser verstehen, wenn wir die Gleichung bildlich darstellen. Zuerst haben wir x². Das können wir als ein Quadrat darstellen, bei dem jede Seitenlänge x ist. Seine Fläche ist x ⋅ x – mit anderen Worten x². Dann gibt es den Term 4 x.

Das wäre ein Rechteck mit den Seitenlängen x und 4. Die Fläche – Basislänge ⋅ Höhe – ist 4 ⋅ x. Fügen wir das Quadrat zum Rechteck hinzu, dann erhalten wir ein neues Rechteck mit der Fläche x² + 4x. Und x² + 4x = 5. Vergleiche das mit der Gleichung.

x² + 4x = 5. So, jetzt kommt der Trick! Nehmen wir eine Schere und schneiden das kleine Rechteck in der Mitte durch. Wir erhalten zwei schmalere Rechtecke, jeweils mit der Fläche 2x. Dann schieben wir eines davon hier rüber.

Wir haben nichts entfernt und auch nichts hinzugefügt. Wir haben die Formen nur verschoben. Diese Abbildung hat also die gleiche Fläche wie zuvor. Die Fläche ist noch immer 5. Die neue Form sieht fast wie ein Quadrat aus – aber nur fast.

In der rechten oberen Ecke fehlt ein Stück. Und was fehlt? Ein kleines Quadrat – mit der Seitenlänge 2! Wir können dieses kleine Quadrat verwenden, um das große zu vervollständigen. Diese Methode nennt man "quadratische Ergänzung".

So, wie groß ist nun die Fläche des neuen, größeren Quadrats? Zuerst hatten wir 5, und dann haben wir mit 2 ⋅ 2 ergänzt. Die Fläche ist also 5 + 4. Das macht 9. Aber Moment mal!

Es gibt noch eine Möglichkeit, die Fläche eines Quadrats zu beschreiben: Seitenlänge²! Jede Seite ist x + 2 lang, also ist die Fläche x + 2². Und wir wissen schon, dass das 9 ist. Indem wir das Quadrat ergänzt haben, haben wir die ursprüngliche Gleichung umgeschrieben. Von x² + 4x - 5 = 0.

zu x + 2² = 9. So, das Schwerste hätten wir geschafft. Jetzt können wir die Gleichung lösen. Wann immer wir eine Gleichung mit einer Quadratwurzel lösen, gibt es zwei mögliche Lösungen. Also x + 2 = + oder - die Quadratwurzel aus 9, das ergibt + oder - 3.

x1 +2 = +3. x2 + 2 = -3. Wir haben die 2 Lösungen für die Gleichung ermittelt. x = 1 und x = -5. Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung durch quadratisches Ergänzen gelöst.

Du musst noch nicht mal Rechtecke zeichnen und verschieben. Diese Methode kann man auch ganz ohne Zeichnen verwenden. Guck mal! Lösen wir jetzt die Gleichung 2x² - 8x + 6 = 0. Gehen wir die Sache Schritt für Schritt an.

Halt das Video einfach an, wenn du mehr Zeit brauchst. Schritt 1: Der Koeffizient vor dem x² muss 1 betragen, teilen wir also den ganzen Ausdruck durch 2. Wir erhalten x² - 4x + 3 = 0. Schritt 2: Sammle alle Terme mit einem x auf der linken Seite und die Konstanten auf der rechten Seite. Die Gleichung wird zu x² - 4x = -3.

Schritt 3: Nimm den Koeffizienten vor dem Term mit dem x, in diesem Fall -4. Halbiere ihn, mit anderen Worten, teile ihn durch 2. Das Ergebnis lautet -2. Schritt 4, die eigentliche Ergänzung: Zuerst quadrieren wir -2 und erhalten 4. Addieren wir das auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens hinzu.

Macht x² - 4x + 4 = -3 + 4 = 1. Und schau! Dieser Ausdruck kommt uns irgendwie vertraut vor. Wir können die "2. binomische Formel" verwenden.

Das ist Schritt 5. Nun schreiben wir die Gleichung als x - 2² = 1. x - 2 ist dann + oder - die Quadratwurzel aus 1, macht + oder - 1. x1 = +1 + 2 = 3. x2 = -1 + 2 = 1.

Und wir haben die Gleichung gelöst durch – genau – quadratisches Ergänzen.