Quadratische Gleichungen: Lösungsformel

Hi Kim! Liest du fleißig in deiner Formelsammlung? Hast du eine schicke Formel entdeckt? Ja, genau! Mit der da kannst du quadratische Gleichungen lösen!

Sieht ein bisschen unheimlich aus, nicht wahr? Ist aber recht schnell erklärt. Und dann kannst du mit ihr jede erdenkliche quadratische Gleichung lösen! Wollen wir loslegen? Hier ist nochmal die Formel.

Jetzt sehen wir uns eine Gleichung an: 3x² + 5x + 2 = 0. Schauen wir uns beides gemeinsam an und vergleichen die Gleichung mit der Formel. Vor dem x² in der Formel steht der Koeffizient a und in der Gleichung steht vor dem x² eine 3. Wir wissen also, dass a gleich 3 ist. Und das merken wir uns.

Und vor dem x in der Formel steht ein b. Ja, das muss die 5 in der Gleichung sein. Wir wissen also b = 5. Und c ist die Konstante. Das entspricht der 2 in der Gleichung.

Das können wir uns auch merken. c = 2. a und b sind die Koeffizienten vor den Termen mit x. c ist die Konstante. Die Werte der Variablen a, b und c sind bekannt.

Und x ist die Unbekannte, die wir berechnen müssen. Im nächsten Schritt setzen wir jetzt die Werte in die Formel ein. Dazu sagen wir auch: Wir verwenden die Formel. Ersetzen wir jetzt die Buchstaben a, b und c durch die Werte, die wir kennen. Hier haben wir die Formel.

Und hier sind die Lösungen. x = -b und b = 5 – wie wir uns gemerkt haben – ± √b, also √(5² - 4 ⋅ a⋅c). a = 3 und c = 2. Das Ganze teilen wir durch 2 ⋅ a – hier also 2 ⋅ 3. So, jetzt sehen wir x = - 5 ± √(25 - 24) / 6.

Die erste Lösung: x₁ = (-5 + 1) / 6 = -4/6 und das können wir vereinfachen: -2/3. Die zweite Lösung: x₂ = (-5 - 1) / 6. Also ist x₂ = -1. Und schon haben wir die 2 Lösungen: x₁ = -2/3 und x₂ = -1. Du kannst die Pause-Taste drücken und die Lösungen nochmal prüfen.

Sehen wir uns noch ein zweites Beispiel an: Was ist die Lösung von -4x + 6x = 2? Wenn wir uns die Formel anschauen, dann sehen wir, dass alle Terme auf der linken Seite stehen und rechts eine 0 ist. Damit wir die Formel verwenden können, muss die Gleichung auch so aussehen. Wir sammeln alle Terme auf der linken Seite – so – und vergleichen dann mit der Formel: In dieser Gleichung entspricht a = -4, b = 6 und c = -2. Und jetzt verwenden wir die Formel: x = – langer Trennungsstrich – ± und ein langes Quadratwurzelzeichen.

Und weil es a 2-mal gibt, setzen wir ein -4. Zack! Und zack. b = 6, auch 2-mal einsetzen. Hier, mit einem Minuszeichen vornedran und hier.

Und c = -2 kommt da hin. Dann die -4 aus der Formel nicht vergessen. Hier. Und die 2. Die kommt hier hin.

So, jetzt haben wir die Lösungen der Gleichung. Noch ein bisschen rechnen, dann sind wir fertig. Es ist wichtig, alle Minuszeichen zu ordnen. - ⋅ - ⋅ +. Das ist wichtig! x = ( -6 ± √ (36 - 32)) / -8.

Das ergibt (-6 ± √4) / -8. x₁ = ( -6 + 2) / -8 = -4 / -8. - / -, das ist +. Also 4/8 = 1/2. x₂ = (-6 - 2) / -8. Das macht -8 / -8.

Nochmal: - / - – x₂ = 1 So können wir mithilfe dieser Formel jede erdenkliche quadratische Gleichung lösen. Erst alle Terme auf die linke Seite. Und die Plus- und Minuszeichen nicht vergessen!