Multiplikation linearer Ausdrücke

Wenn du eine Gerade zeichnest, schreibst du das so: Die Steigung mal einer Variablen und eine Konstante. Wenn Ausdrücke nur eine Variable haben und die Variable hat hier oben keine Zahl – wie bei diesen Geraden – dann sind die Ausdrücke "linear". Lass uns jetzt mal 2 dieser linearen algebraischen Ausdrücke miteinander multiplizieren. Nehmen wir (x + 3) ⋅ (x + 2). Merkt euch, dass wir alle Terme in der 1.

Klammer mit allen Termen in der 2. Klammer multiplizieren müssen. Hier heißt es gründlich sein. Fangen wir an: Nimm den 1. Term in der 1.

Klammer, multipliziere ihn mit dem 1. Term in der 2. Klammer und dann mit dem 2. Term in der 2. Klammer.

Und dann den 2. Term in der 1. Klammer, mal den 1. Term der 2. Klammer und dann mal den 2..

So, jetzt haben wir alle Terme miteinander multipliziert. Jetzt vereinfachen wir den Ausdruck. Drück die "Pause"-Taste und versuch es selbst. Genau! x² + 5x + 6.

Und gleich noch einmal. 5 - x ⋅ 2x + 3. Hier sind 2 Dinge wichtig: Das Minuszeichen und dass das x an 2. Stelle steht. So, jetzt lösen wir das genau wie zuvor.

Gründlich. Drück "Pause" und versuch es selbst. 5 ⋅ 2x = 10x + 5 ⋅ 3 = 15. Denk an das Minuszeichen. (-) ⋅ + = (-), also ist -x ⋅ 2x = -2x². Und dann -x ⋅ 3 = -3x.

Und dann vereinfachen wir wieder. Fasse die Terme, die "ähnlich" sind, zusammen und es bleibt übrig: -2x² + 7x + 15. So. Siehst du? Es funktioniert, solange du gründlich bist.

Wahrscheinlich hast du es gemerkt: Jedes Mal, wenn wir 2 lineare Ausdrücke miteinander multiplizieren, erhalten wir einen Term mit x². Stell dir den linearen Ausdruck als Gerade vor, die wir in Metern messen würden. Ein "linearer algebraischer Ausdruck". Wenn wir eine 2. Gerade hinzufügen, dann haben wir eine Gerade mal eine Gerade.

Eine Fläche, die wir in Quadratmetern messen würden. Wir erhalten so einen "quadratischen algebraischen Ausdruck." Außerdem sehen die Graphen dazu ganz anders aus. Sobald der Ausdruck quadratisch ist – eine "quadratische Gleichung" – wird der Graph zu einem Bogen. Und noch ein letztes Beispiel! Hier haben wir 2 Minuszeichen, da müssen wir besonders sorgfältig sein.

3 - x ⋅ 4 - x. Wie immer, drück "Pause" und probier' es selbst. So, wie war das gleich nochmal mit (-) ⋅ (-)? Genau, es wird '+'. +x² Und vereinfachen: Wir erhalten: x² -7x + 12. So, jetzt haben wir ein paar lineare algebraische Ausdrücke multipliziert.

Es gibt da ein Muster. In Mathe geht es oft um Muster! Mal sehen, ob wir das Muster hier erkennen können, okay? Schau! Siehst du's?

Das hier ist immer das da plus das da. Und das hier ist immer dies mal das. Und immer schön vorsichtig sein mit den Minuszeichen! Merk dir das Muster für den nächsten Test zur Kontrolle. Du kannst es aber auch für andere Dinge verwenden.

Zum Beispiel beim Faktorisieren und beim Lösen von quadratischen Gleichungen. Immer schön gründlich arbeiten und aufpassen, dass du alle Terme mit allen Termen multiplizierst. Dann den Ausdruck vereinfachen und ins Reine schreiben. Merk dir das Muster: Vor dem x-Term werden diese beiden Zahlen miteinander addiert und für die Konstante werden diese beiden miteinander multipliziert. Und immer auf die Vorzeichen achten!

Ein bisschen Übung und es wird dir immer leichter fallen, das Muster zu erkennen. Und merk dir: Wenn du 2 lineare Ausdrücke miteinander multiplizierst, dann erhältst du immer eine quadratische Gleichung.