Der Abstand zwischen zwei Punkten

Hier sind zwei Punkte. Wie weit sind sie voneinander entfernt? Wie misst du den Abstand zwischen A und B? Du kannst dafür ein Lineal oder ein Maßband benutzen. Wenn du dir dieses Video auf einem Handy anschaust und ein Lineal benutzt, dann misst du 2 1/2 Zentimeter.

Siehst du das Video aber auf einer Lein- wand, dann misst du mit dem Lineal ganze 55 Zentimeter. Du erhältst also 2 verschiedene Ergebnisse. Gibt es eine bessere Methode? Ja, du kannst den Abstand berechnen, statt ihn zu messen. Um den Abstand zu berechnen, brauchst du ein Koordinatensystem.

Aha! Jetzt liegen die Punkte in einem Koordinatensystem. Den x-Wert von Punkt A kannst du direkt unterhalb des Punktes auf der x-Achse ablesen: 5. Dasselbe gilt für Punkt B. Genau unterhalb von Punkt B siehst du den Wert 1 auf der x-Achse.

Die Differenz ist 5 - 1. Also 4. Der Abstand beträgt 4. Du weisst aber nicht, ob es 4 Zentimeter, 4 Meter oder irgendeine andere Längeneinheit ist. Also sagt man einfach: Die Antwort ist 4 Längeneinheiten.

Aber was tust du, wenn die Punkte z. B. so liegen? Wenn du die Differenz der x-Werte der Punkte berechnest, dann ist die Antwort: 0 Längeneinheiten. Aber auf der y-Achse hat Punkt A den Wert 2 – und Punkt B den Wert -1.

Die Differenz ist also: 2 - (-1). Und da (-) und (-) + ergibt, rechnest du 2 + 1. = 3 Längeneinheiten. Ganz einfach. Aber was tust du, wenn die Linie zwischen den Punkten nicht parallel zur x-Achse oder zur y-Achse läuft? Wenn die Punkte also zum Beispiel hier liegen?

Ein Punkt liegt oberhalb der x-Achse – der andere diagonal unterhalb der x-Achse. Miss den Abstand auf der x-Achse. 4. Ne! Das ist zu kurz, oder?

Dann also auf der y-Achse? 3? Ne, auch zu kurz. Wie soll das gehen? Hier ist ein Trick!

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck. Zeichne den Abstand, den du messen willst, als eine Linie zwischen den Punkten. Von A nach B. Jetzt zeichnest du von B eine Linie nach rechts – parallel zur x-Achse. Zeichne nun von A eine Linie nach unten, bis sie auf die erste Linie trifft.

Der Abstand zwischen den Punkten bildet die lange Seite des rechtwinkligen Dreiecks. Diese Seite nennt man die Hypotenuse. Und diese beiden Abstände liest du einfach von der x-Achse und y-Achse ab. Die kurzen Seiten des rechtwinkligen Dreiecks nennt man Katheten. Das kommt dir bestimmt bekannt vor, oder?

Hypotenuse, Katheten, rechtwinkliges Dreieck... Der Satz des Pythagoras! Du kannst die Hypotenuse – der gesuchte Abstand – mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Punkt A hat den Wert 5 auf der x-Achse – und den Wert 2 auf der y-Achse. Du schreibst also 5 und 2 in Klammern.

Die 1. Zahl ist der x-Wert und die 2. Zahl der y-Wert. Bei Punkt B ist x = 1 und y = -1 . Die Länge einer der Katheten – du kannst sie "a" nennen – kennst du bereits: 4 .

Die Länge der 2. Kathete – nenne sie "b" –, kennst du auch schon: 3 . Der Satz des Pythagoras lautet: c² = a² + b². Die Quadrate der Seiten a und b sind: 4 ⋅ 4 = 16. Und 3 ⋅ 3 = 9.

c ist dann die Summe aus 16 und 9: also 25 . Berechne nun die Quadratwurzel aus c Quadrat, um die Länge c zu erhalten. Das ist der Abstand zwischen den Punkten A und B. Die Wurzel aus 25 ist 5. Der Abstand zwischen Punkt A und Punkt B beträgt 5 Längeneinheiten.

Klasse! So berechnest du den Abstand zwischen beliebigen Punkten im Koordinatensystem. Wofür ist das nützlich? Na ja, zum Beispiel hierfür: Mit dieser Methode kannst du Entfernungen auf Karten berechnen. Eine Karte ist ein riesiges Koordinatensystem.

Du nennst den x-Wert auf der Karte allerdings Längengrad, und der y-Wert heißt dort Breitengrad.