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Zinseszins
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Wahr oder falsch: Eine Person hat sich 100 Euro geliehen und 110 Euro zurückgezahlt. Sie hat also 10 Euro Zinsen gezahlt.
Michael will ein neues Mofa kaufen. Oh je, das wird teuer! Frag doch deine Bank nach einem Kredit, Michael. Vielleicht leiht sie dir Geld. Das ging ja schnell.
Was haben sie dir angeboten? 10 % Zinsen? Okay. Und wie lange läuft der Kredit? 5 Jahre.
Michael braucht deine Hilfe beim Berechnen. Diese Linie steht für Zeit. Michael leiht sich das Geld hier. Da ist der Zeitwert 0. Hier, bei 1, ist ein Jahr vorbei.
Dann schuldet Michael der Bank: Den Grundwert + den Grundwert ⋅ dem Zinssatz. Du kannst das auch so schreiben: Der Grundwert ⋅ 1,1. Das heißt, die Schulden sind um 10 % gestiegen. Halte das Video an und denke darüber nach: Diese 2 Arten, die Schulden zu beschreiben, haben das gleiche Ergebnis. Wenn du Kredite berechnest, ist diese Schreibart am einfachsten.
Nämlich: Grundwert ⋅ Änderungsfaktor. Der Änderungsfaktor ist: 1 + der Zinssatz. Dies ist der Grundwert. Und nach dem Komma kommt der Zinssatz, also 10 %. Noch ein Jahr geht vorbei.
Wie viel Geld schuldet Michael der Bank nach 2 Jahren? Nach einem Jahr waren die Schulden um 10 % gestiegen. Sind die Schulden nach 2 Jahren also um 20 % gestiegen? Nein, sind sie nicht. Das reicht nicht, denn die Bank berechnet nicht einfache Zinsen.
Banken berechnen Zinsen so: Nach einem Jahr schuldet Michael der Bank nicht nur den Betrag, den das Mofa gekostet hat, sondern auch die Zinsen für das erste Jahr. Jetzt schuldet er der Bank insgesamt also etwas mehr. Nach 2 Jahren berechnet die Bank die neuen Zinsen auf die Summe aus dem Grundwert und den Zinsen für das erste Jahr. Das Gleiche passiert im 3. Jahr: Die Bank berechnet die neuen Zinsen für die gesamten Schulden.
Dazu gehören auch die Zinsen von den vergangenen Jahren. Jedes Jahr addiert die Bank also die neuen Zinsen zu den Schulden hinzu. Dadurch werden die Schulden größer. Und weil die Schulden steigen, steigt auch der Zinsbetrag, Jahr für Jahr. 4 Jahre.
5 Jahre. Die Bank berechnet Zinsen auf die Zinsen. Das nennt man Zinseszins. Zinseszinsen berechnest du so: Nach einem Jahr schuldet Michael der Bank: den Grundwert ⋅ 1,1. Nach 2 Jahren schuldet er der Bank diesen Betrag, nochmal mit 1,1 multipliziert.
Rechne mit dem Taschenrechner aus, wie hoch die Schulden nach 2 Jahren sind. Siehst du, was passiert ist? Die Schulden sind um 21 % gestiegen. Halte das Video an und rechne noch mal nach, wenn es dir komisch vorkommt. Vergiss nicht, dass die Bank Zinsen auf den ganzen anfänglichen Grundwert berechnet und auch auf die Zinsen für das 1.
Jahr. Nach 3 Jahren berechnet die Bank die Zinsen vom ersten Grundwert und den Zinsen für die ersten 2 Jahre. Du musst also alles mit 1,1 multiplizieren. Im 4. Jahr machst du das Gleiche.
Und im 5. Jahr genauso. Wie viel schuldet Michael der Bank nach 5 Jahren? Gib all diese Zahlen in deinen Taschenrechner ein. Zuerst kannst du es aber etwas einfacher machen.
Vielleicht erkennst du es schon: Dies ist eine wiederholte Multiplikation. Du kannst sie als Potenz schreiben. 1,1 5-mal mit sich selbst multipliziert ergibt 1,1^5. Berechne zuerst die Potenz. Das ist der Änderungsfaktor für die gesamte Kreditdauer: 1,61 Die Gesamtschulden nach 5 Jahren betragen: Grundwert ⋅ 1,1^5.
Das ist der Betrag, den Michael in 5 Jahren zurückzahlen muss. 10 % jährliche Zinsen, 5 Jahre lang, mit Zinseszinsen – das entspricht einem Schuldenwachstum von 61 %. Würde die Bank stattdessen einfache Zinsen berechnen, dann wären die Schulden nur um 50 % angestiegen. Aber so bezahlt Michael jetzt Zinsen auf die Zinsen, und deshalb wachsen die Zinsen schneller und schneller und schneller.