Optimaler Umfang und optimale Fläche

Maria will ein Gewächshaus aus Glas bauen. Damit alle Pflanzen Platz haben, muss das Gewächshaus 36 m² groß sein. Um den Bau zu erleichtern, hat sie eine rechteckige Form gewählt. Glas ist teuer, deshalb will sie davon so wenig wie möglich verwenden. Sie möchte den Umfang des Gewächshauses aus Glas so klein wie möglich halten.

Das wäre das Beste, das Optimum. Wie macht man das? Spielen wir mit ein paar Zahlen. 12 m ⋅ 3 m ergibt eine Fläche von 36 m². Der Umfang beträgt dann 12 + 3 + 12 + 3 ...

macht 30 m. Aber bei einer Länge von 9 m braucht es eine Breite von 4 Metern, um eine Fläche von 36 m² zu erhalten. Der Umfang beträgt dann also 9 + 4 + 9 + 4, ist gleich 26 m. Das ist ein kleinerer Umfang, ein optimaleres Ergebnis. Wie weißt du, wann du das beste Ergebnis – also den kleinsten Umfang – hast?

Um das herauszufinden, nutzt man Buchstaben – Variablen – für die Länge und die Breite. Ist die Länge des Gewächshauses x und seine Breite y, dann lautet die Formel für die Fläche: x ⋅ y. Maria will ein Gewächshaus, das genau 36 m² groß ist. Sie will seine Fläche darauf beschränken. "x ⋅ y = 36" ist dann die Bedingungsgleichung. Der Umfang ist x + y + x + y, macht 2x + 2y.

Maria will einen minimierten Umfang als optimales Ergebnis. Die Formel für den Umfang ist die Optimierungsgleichung. Zur Berechnung des Umfangs verwendest du zwei unbekannte Werte: x und y. Es wäre jedoch einfacher, wenn du nur einen unbekannten Wert hättest. Du kannst die Formel so ändern, dass sie nur noch eine Unbekannte enthält.

Wählen wir dafür x, die Länge. Und nun zurück zur Bedingungsgleichung: x ⋅ y = 36. Dividiere beide Seiten der Gleichung durch x. Dann ist y = 36 / x. Nun ersetzt du y in der Optimierungs- gleichung mit "36 / x".

Der Umfang beträgt 2x + 2y = 2x + 2 ⋅ 36 / x, und 2 ⋅ 36 macht 72. Halte das Video an und überprüfe, ob das korrekt ist. Hier ist eine Tabelle, in der wir verschiedene Längenwerte des Gewächshauses eintragen: x. Schau mal, welche Umfänge du erhältst. In der ersten Spalte – Spalte A – tragen wir den x-Wert ein.

In der nächsten Spalte – Spalte B – tragen wir die Formel für den Umfang ein: 2x + 72 / x. Die billigsten Glasscheiben, die Maria gefunden hat, sind 1 m breit. Erhöhen wir also x in Spalte A jedes Mal um 1. Ist x = 1, so ist der Umfang 2 ⋅ 1, + 72 / 1, = 74. Jetzt erhöhen wir x auf 2 und berechnen den Umfang erneut.

Du siehst: Wird x größer, nimmt der Umfang ab. Doch ist x = 7, fängt der Umfang an, größer zu werden. Von allen untersuchten x-Werten erhalten wir den kleinsten Umfang, wenn x = 6 ist. Dann ist die Breite – y – = 36 / 6. Und das ergibt 6.

Baut Maria ein Gewächshaus mit einer Länge von 6 Metern und einer Breite von 6 Metern, so erhält sie 36 Quadratmeter. Das Gewächshaus sollte also die Form eines Quadrats haben. Dies ergibt den kleinsten Umfang – das optimale Ergebnis für Maria.