Los números irracionales

Si ya has estudiado los números naturales, los números enteros y los racionales, ahora toca ver qué viene a continuación. Y el siguiente paso es el conjunto de los números irracionales. ¿Te acuerdas de que un número racional se puede escribir en forma de fracción? En la Antigua Grecia los matemáticos creyeron durante mucho tiempo que todos los números podían describirse como el cociente de dos números enteros. Un día, hace unos 2500 años, un hombre, que bien pudo haberse llamado Hipaso, descubrió que eso no era del todo cierto. Se dio cuenta de que había números que no se podían escribir en forma de fracción.

Es más, ¡ni siquiera podían describirse propiamente! Este descubrimiento enfadó tanto a otros matemáticos que mataron o exiliaron a Hipaso. No se sabe muy bien qué paso, pero está claro que estaban de todo menos contentos. A los números que no son racionales se los llama irracionales. Esto no significa que se comporten de manera extraña o ilógica, sino que no se pueden escribir en forma de fracción.

Seguramente reconozcas este número irracional. Ésta es la letra griega "Pi", que describe la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Otros ejemplos de números irracionales son la raíz cuadrada de dos, el número de Euler, "e", y el número áureo. Pero hay muchos más. Para ser exactos, hay un número infinito. Si escribimos los números en formato decimal, podemos decir cuáles son racionales y cuáles son irracionales.

Un número racional en formato decimal tiene que tener un número finito de dígitos después de la coma, como en tres cuartos o siete octavos, o se tienen que repetir los decimales, como en un tercio, cinco novenos, nueve onceavos o siete doceavos. Por el contrario, los números irracionales siempre tienen un número infinito de decimales que no se repiten. La raíz cuadrada de la mayoría de los números es irracional, a excepción de las raíces perfectas. Uno, cuatro, nueve, dieciséis, etc. son las raíces cuadradas de uno, dos, tres y cuatro.

Son ejemplos de raíces perfectas. Las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos son números racionales, pero todas las demás raíces cuadradas son números irracionales. He aquí un dato interesante acerca de los números irracionales: La línea numérica puede contener tantos números racionales entre dos números enteros como queramos - un número infinito. Pero sigue habiendo números que no se pueden escribir en forma de fracción - son los números irracionales. Siempre hay huecos en la línea numérica que no se pueden rellenar, ni siquiera con un número infinito de números racionales.

Para rellenar estos huecos se necesita de los números irracionales, y de éstos también hay un número infinito. Los números racionales e irracionales juntos rellenan todos los huecos de la línea numérica y la convierten en una línea coherente. Los números racionales e irracionales juntos forman los llamados números reales. De ahí que a veces a la línea numérica se la llame línea de los números reales. El conjunto de los números reales se identifica con una R mayúscula.

Aquí tenemos una línea numérica. Los números reales rellenan todos los puntos, sin dejar huecos. Los números enteros se incluyen en el conjunto de números reales. Los números enteros positivos y el cero son números naturales. El resto de los números racionales, que se pueden escribir en forma de fracción, van entre los números enteros...

Y los números irracionales, que no se pueden escribir en forma de fracción, se comprimen entre los números racionales. Los números racionales e irracionales cubren todos los puntos de la línea. Reciben el nombre de números reales. La imagen al completo contiene todos los números reales. Los números racionales e irracionales forman conjuntos de números por separado.

Tan solo los números racionales incluyen a los números enteros y a los naturales. En este lado de la imagen, los conjuntos numéricos más pequeños están incluidos dentro del más grande.