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El sistema de números binarios
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¿Dónde se utiliza el sistema de numeración binario?
Después del colegio María y Lina suelen jugar juntas al fútbol. Viven en lados opuestos de la calle. Las dos tienen una lámpara en la ventana de la cocina. María puede ver la lámpara de Lina y Lina puede ver la de María. Han acordado que si la lámpara está encedida, se encuentran en el campo de fútbol.
A veces prefieren ir a nadar en vez de jugar al fútbol. Lina sugiere que si cada una pone otra lámpara más en la ventana de la cocina, significará que se verán en la playa. Esto es muy importante. ¿Lo has pensado? Y si hay una tercera lámpara en la ventana, podría significar: ¿Te apetece venirte a mi casa a ver una peli? No necesitamos más lámparas, con dos es suficiente.
Si las dos lámparas están encendidas, significa "ven a ver una peli". ¡Inteligente! Ya tenemos tres lámparas o más bien, tres mensajes usando sólo dos lámparas. Con otra lámpara más, ¿cuántos mensajes podríamos mandar? Hagamos la prueba. Voy a ponerlo así.
Mensaje uno - primera lámpara - fútbol, eso es obvio. Mensaje dos - segunda lámpara - playa. Mensaje tres - lámpara uno y dos - ver una película, como acordado. Mensaje cuatro - solo la lámpara tres - ¿qué podría significar eso? ¿Estudiar? Un poco aburrido, pero somos las mejores de clase.
Sí. Fíjate. Tres lámparas pueden significar un montón de cosas. Cinco - la primera lámpara y la última. Seis - las dos últimas lámparas.
Siete - todas ellas. Siete combinaciones diferentes con tres lámparas. Y además todas pueden estar apagadas. Si todas las lámparas están apagadas, significa "hoy nada de nada". Bien.
Ya son ocho combinaciones: tres lámparas - ocho mensajes. María y Lina acaban de descubrir el sistema de números binarios. El sistema de números binarios, o base dos, tiene dos números en vez de diez, que es al que estamos acostumbrados. A pesar de que María y Lina usan el sistema de "encendido - apagado" en vez de números, tiene el mismo funcionamiento. El número de mensajes que Lina y María pueden mandar con su sistema binario es dos elevado al número de lámparas que tienen.
Dos elevado a tres son ocho. Si tuvieran una cuarta lámpara, podrían mandar 16 mensajes. Con cinco lámparas, tendrían 32 opciones. Por cada lámpara nueva, el número de posibles combinaciones se duplica. Ésta es otra manera de verlo. Cuando añadieron la tercera lámpara, primero podrían haberla dejado apagada y seguir con las mismas combinaciones de antes, las de las dos lámparas, y luego encender la nueva lámpara y repetir todas las combinaciones anteriores.
Comparemos la mitad de arriba con la de abajo de la tabla. Son iguales a no ser por la lámpara de la izquierda. Esta manera de codificar información con base dos - encendido o apagado - es mucho más frecuente de lo que puedas imaginar. Las partes electrónicas del ordenador y del móvil gestionan toda la información de esta manera. Se suele escribir así: con unos y ceros.
Al igual que en un sistema normal de números decimales, el sistema de números binarios es un sistema posicional, en el que toda posición o número tiene su propio valor. La posición de la derecha vale uno, como siempre. Pero donde suelen estar las decenas, ahora hay doses, y donde suelen estar las centenas, hay cuatros. Fijate en la fila que significa cinco, tiene un cuatro, cero doses y un uno. Cuatro más uno da cinco.
He aquí un ejemplo más complicado, un número binario con cinco dígitos: el de más a la izquierda es el 16, luego ocho, luego cuatro, dos y uno. El número binario 10100 significa un 16, cero ochos, un cuatro, cero doses y cero unos. 16 más cero, más cuatro, más cero, más cero es igual a 20. Las bases numéricas están conectadas con el valor posicional y los exponentes. Si tienes claros esos conceptos, esta tabla puede ayudarte a entender las bases numéricas.
Mira: todos los valores posicionales pueden escribirse como un exponente en el que la base del exponente es el número base y el número base es dos porque estamos usando el sistema de números binarios. Para la potencia se usa la posición y se empieza por el cero de más a la derecha. La base numérica elevada a la potencia de la posición es igual al valor posicional. El valor del número binario se obtiene multiplicando el valor posicional por el número en esa posición y luego sumándolo todo. Así.
Uno por 16. Escribimos 16 como dos elevado a cuatro más cero ochos, cinco, uno, cuatro y escribimos cuatro como dos elevado a dos más cero doses más cero unos. Eso da 20. Fíjate en cómo se escriben las unidades: como dos elevado a la potencia de cero. Cualquier número elevado a cero da uno.
Parece algo complicado, pero si escribes los números de esta manera, resulta más fácil entender la relación con el sistema de números decimales. Para comparar, se pueden escribir los números decimales de la misma manera. Cada valor posicional se escribe como un exponente. En esta expresión exponencial, la base es diez, al igual que el número base, y la potencia es la posición. Hay diez miles, cero miles y cero cientos.
Luego vienen las decenas. Hay dos y luego cero unos. La suma es 20 así que uno cero uno cero cero en el sistema binario es lo mismo que 20 en el sistema decimal. Parece un poco complicado, así que para distinguir los sistemas numéricos, se escribe el número base después del número, en caso contrario podría haber confusiones. Aunque las confusiones también pueden ser divertidas.
La camiseta nueva de Lina, por ejemplo. Fíjate en la imagen. Tómate tu tiempo para leerla y a ver si lo pillas.