El mínimo común múltiplo

Para sumar o restar fracciones, éstas tienen que tener el mismo denominador. Cojamos un sexto más dos novenos. Una manera sencilla que te habrán enseñado es ampliar las fracciones multiplicando tanto el denominador como el numerador por el denominador de la otra fracción. Así los denominadores de las dos fracciones serán iguales. Pero este truco de ampliar por el denominador de la otra fracción no siempre resulta tan elegante.

Si queremos sumar o restar más de una fracción, o si ambos denominadores son números muy altos, puede que acabemos con denominadores enormes, y el resto del cálculo resultará muy difícil. Por eso es una buena idea encontrar un denominador común menor, incluso el más pequeño posible: el mínimo común múltiplo. Volvamos a las mismas fracciones de antes. En vez de multiplicar cada fracción por el denominador de la otra fracción, vamos a factorizar lo máximo posible los dos denominadores. Seis se puede factorizar en tres por dos.

No podemos seguir porque dos y tres son números primos. Los números primos son números que sólo son divisibles entre uno y entre ellos mismos. Nueve es lo mismo que tres por tres. Eso nos deja sólo con números primos. Ahora vamos a ampliar los denominadores de las dos fracciones para obtener exactamente el mismo valor.

Los dos contienen un tres desde el principio así que no hay que hacer nada. Pero el dos del primer denominador tiene que estar también en el segundo denominador. Así que ampliamos la otra fracción por dos. Así sólo queda el tres de la segunda fracción. Ahora ampliamos la primera fracción por tres.

Y ya tenemos el mismo número en los denominadores de ambas fracciones. Podemos escribirlos en el mismo orden para verlo mejor. Así, la fracción se hace más sencilla y no hay que trabajar con números grandes. La solución es la misma ya que el 21/54 de antes tiene el mismo cociente que 7/18. Puede que te sepas las tablas del seis y del nueve tan bien que seas capaz de ver a la primera que el 18 es el número más pequeño divisible de los dos.

Pues ahí mismo tienes el MCM. Para los denominadores pequeños ésta es la manera más rápida de dar con ellos. Veamos un caso más complicado donde seguramente no puedas usar la tabla de multiplicar: 26/84avos más 7/15avos. Empieza factorizando los denominadores: 84 se puede factorizar en dos por 42, y 42 en dos por 21 y 21 en tres por siete. Y ya tenemos sólo números primos.

El denominador de la otra fracción se puede factorizar en tres por cinco. Como hemos factorizado a números primos en ambos denominadores, no podemos seguir dividiéndolos más. Ahora ampliamos las fracciones hasta que los denominadores sean idénticos. Empieza por la izquierda. El dos no está en el segundo denominador.

Aumenta la segunda fracción por dos. El siguiente factor es otro dos de modo que hacemos lo mismo. Luego viene el tres, pero éste ya está en el segundo denominador así que no hay que ampliar por tres. El último factor de la primera fracción es siete. No está en el segundo denominador así que lo ampliamos por siete.

En el segundo denominador es sólo el cinco el que no está en el primer denominador así que ampliamos la primera fracción por cinco. Ahora los dos denominadores ya están compuestos por exactamente los mismos factores y no hemos ampliado las fracciones más de lo necesario. El mínimo común múltiplo es, por lo tanto, 420, pero de momento dejaremos los múltiplos y los denominadores factorizados en sus números primos. Multiplica los factores y los numeradores. Ya puedes usar una línea de fracción compartida y sumar los numeradores.

Y 326 se puede simplificar entre dos. Hasta aquí podemos llegar, de modo que multiplicamos los factores en los denominadores para obtener 210: 163 210avos. Han sido un montón de pasos, y puede que resulte difícil verlos por vez primera. Pero en realidad, sólo hay que recordar dos cosas a la hora de buscar el MCM mediante la factorización en números primos. Uno: factoriza ambos denominadores lo máximo posible a números primos.

Dos: amplía las fracciones hasta que los denominadores sean idénticos, sin ir más allá. Ahora ambos denominadores son iguales y las fracciones tienen su mínimo común múltiplo. Lo que queda es una resta de fracciones que ya sabes hacer. Uno: factoriza a números primos. Dos: amplía hasta que ambos denominadores sean iguales.