Introducción a la geometría

Durante la Edad de Piedra no se necesitaban mucho las matemáticas. Pero hará unos 5,000 años, cuando surgieron las primeras civilizaciones, la vida se complicó bastante, y empezaron a surgir situaciones en las que la gente necesitaba calcular cosas. Los tres hijos de este granjero heredan sus tierras y necesitan saber cuánto miden. ¿Cómo van a calcular eso? Estos dos pescadores van a montar un mástil nuevo en su barco y tienen que calcular si el árbol es lo suficientemente alto. Esto es un pozo. ¿Cuánta agua es capaz de albergar?

Para responder a este tipo de preguntas, la gente necesitaba dar con métodos para medir y calcular longitudes, superficies, ángulos y volúmenes. Y así lo hicieron. Gran parte de la geometría que se enseña en la escuela primaria se desarrolló, de hecho, durante este período, hace entre 5,000 y 2,000 años. Muchas veces personas de diferentes lugares del mundo hacían los mismos descubrimientos matemáticos sin saber que ya otra persona había dado con una solución para ese determinado problema. Algunos de esos primeros sitios en los que la gente resolvió problemas geométricos fueron el Valle del Indo, en el Pakistán actual, Babilonia, donde hoy en día se encuentra Iraq, y Egipto.

Hace 2,300 años vivía en Alejandría un hombre llamado Euclides. Era un hábil matemático, pero no sólo eso; también escribió 13 libros en los que resumió todo lo que la gente de Egipto sabía acerca de la geometría por aquel entonces; y ¡sabían un montón! Empecemos por el cuadrado. Lo reconoces, ¿no? Tiene largo y ancho, pero no tiene fondo.

Es completamente plano. Si lo giras un poco, se ve mejor. Largo y ancho, dos dimensiones. El cuadrado es una figura bidimensional. Ahora vamos a quitar tres de los lados del cuadrado. ¿Qué obtenemos?

Una línea recta. Aunque en geometría a eso se le llama un segmento. Ahora solo tenemos una dimensión: el largo. Nada de ancho, ni área ni grosor; tan solo el largo. Es unidimensional.

Retiremos también el largo y quedémonos tan solo con un circulito. El circulito que vemos aquí puede que mida un milímetro de diámetro, pero estamos en geometría, por lo que no es un circulito, sino un punto. En geometría los puntos no tienen medidas. Un punto tiene cero dimensiones: ni largo, ni ancho ni altura. No es más que una posición, un sitio exacto, pero puede existir dentro de un espacio tridimensional, una habitación, por ejemplo.

El punto está en un lugar que puede describirse usando el ancho, el largo y la altura. A esas tres cosas a veces se las llama X, Y y Z. Esta manera tan peculiar de describir posiciones no está en los libros de los Elementos de Euclides. No sería hasta el siglo XVII que un francés, René Descartes, elaboró dicho sistema. Pero seguramente a Euclides le hubiera gustado si lo hubiera visto.

El caso es que aquí tenemos otro punto. Cuando tenemos dos puntos, podemos trazar una línea que pasa por ellos. Una línea es infinitamente larga, no tiene ni ancho ni grosor, y es completamente recta. Si una recta empieza en un punto y sigue hasta el infinito, se llama "semirrecta". Si cortamos la semirrecta por un punto cualquiera, volvemos a obtener un segmento.

Aquí están: tres objetos geométricos unidimensionales: la recta, la semirrecta y el segmento. ¿Qué te parece? ¿Dejamos que entre la segunda dimensión? Aquí está de nuevo nuestro cuadrado, y además un triángulo, un círculo, un rectángulo y un rombo. Existen muchas formas geométricas bidimensionales. Son planas, sin ningún grosor. Podemos medir su área, o superficie, en metros cuadrados, por ejemplo.

Pero no tienen volumen. Si también incluimos una tercera dimensión, podemos obtener formas con volumen: un cubo, un ortoedro, un cilindro, un tetraedro y una esfera, por mencionar algunas. Tienen largo, ancho y altura. Tienen una superficie que se puede medir y además un volumen - un cuerpo, un contenido que ocupa su espacio. Podemos llenar las figuras tridimensionales con aire o agua y podemos medirlas en litros o metros cúbicos.

Estas figuras tienen tres dimensiones, y dentro de esas tres dimensiones actúan como cabe de esperar. Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto, y dos líneas paralelas no van a cruzarse nunca. Existen otras geometrías en las que se aplican otras reglas, pero ya las veremos en otra ocasión. De momento quedémonos con la geometría normal de clase, o la geometria euclidiana, como se la suele llamar, en honor al anciano y bueno de Euclides.