El teorema de Pitágoras

Aquí tenemos a Pitágoras, otro griego de la antigüedad. Vivió unos doscientos años antes que Euclides, hará unos 2,500 años, en la isla de Samos, en el archipiélago griego en el Mar Egeo. Pitágoras era matemático y filósofo. Hoy en día se le conoce sobre todo por el teorema de Pitágoras. Se trata de una fórmula matemática que describe cómo están relacionados entre sí los tres lados de un triángulo rectángulo.

Hay pruebas de que dicha relación ya era conocida en Grecia cuando Pitágoras la transcribió y de que había matemáticos en China y en la India que probablemente ya lo habían descubierto por su cuenta, puede que antes, pero aun así, esta fórmula se conoce como el teorema de Pitágoras. Éste es el aspecto que tiene el teorema de Pitágoras si lo dibujamos. Empecemos por un triángulo rectángulo. Dibujamos un cuadrado a cada lado. Si juntamos las áreas de los cuadrados más pequeños, obtenemos el área del cuadrado más grande. Detén el vídeo, cuenta los cuadraditos y compruébalo.

El cuadrado más grande tiene 5x5, 25 cuadraditos. El mediano tiene 4x4, 16 cuadraditos y el más pequeño, 3x3, 9 cuadraditos, y 25 es igual a 16 + 9. Generalizando: el cuadrado del lado más largo equivale a la suma de los cuadrados de los dos lados más pequeños. Esto es válido para todos los triángulos rectángulos. Aquí tenemos dos definiciones que conviene saber: El lado más largo de un triángulo rectángulo se llama hipotenusa y los dos lados más pequeños son los catetos.

La hipotenusa suele recibir la letra C y los dos catetos, las letras A y B. El teorema de Pitágoras se escribe así: C al cuadrado es igual a A al cuadrado más B al cuadrado. Para usar el teorema de Pitágoras hay que saber resolver ecuaciones. Sabemos lo que miden los catetos de este triángulo rectángulo, pero no lo que mide la hipotenusa. Introduzcamos los valores en el teorema de Pitágoras.

C al cuadrado es igual a 5 al cuadrado más 12 al cuadrado. Calculamos los cuadrados y los sumamos. Ahora viene la parte interesante. ¿Y ahora qué? La hipotenusa al cuadrado es 169. ¿Cómo se resuelve una expresión con exponente, o una potencia? Lo contrario de las potencias son las expresiones radicales, así que cogemos la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

La raíz cuadrada de C al cuadrado es igual a la raíz cuadrada de 169. La raíz cuadrada de C al cuadrado es C. Por eso hay que usar las expresiones radicales. Si averiguas la raíz cuadrada de 169 en la calculadora, verás que es 13. La hipotenusa C mide 13.

El teorema de Pitágoras sirve para todos los triángulos rectángulos, pero no para los demás triángulos. La hipotenusa (el lado más largo) al cuadrado es igual a la suma de los catetos (los lados más pequeños) al cuadrado. Para resolver un problema mediante el teorema de Pitágoras hay que introducir los valores que se tienen y resolver la ecuación. Se coge la raíz cuadrada de ambos lados tras haber aislado la incógnita al cuadrado a un lado. Una propinita: coge un triángulo rectángulo y dale a los catetos el valor de 1.

En ese caso la hipotenusa será un número irracional: la raíz cuadrada de dos. Esto lo descubrieron los hipaspistas y mosquearon con ello bastante a los pitagóricos, que creían que todos los números tenían que ser racionales. Mira el vídeo de los "Números irracionales" y descubrirás más cosas.