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Resolución de ecuaciones de segundo grado mediante el método de completar el cuadrado
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¿Qué número hay que añadir a ambos lados de la ecuación al completar el cuadrado de ?
Hay varias maneras de resolver una ecuación de segundo grado. He aquí una muy elegante. Si te tomas el tiempo necesario para entenderla bien, podrás resolver todas las ecuaciones de segundo grado sin tener que usar ninguna fórmula. Fíjate en esta ecuación. "X al cuadrado" más "cuatro X" menos "cinco" igual a cero. Antes de aplicar este método, tenemos que ordenar la ecuación.
Queremos agrupar todos los términos que lleven X en el lado izquierdo y queremos el término de la constante en la parte derecha. Ahora ya tenemos "X al cuadrado" más "cuatro X" en la parte izquierda, y el cinco en la parte derecha. Ahora la ecuación está en una forma que podemos usar. Esta "X al cuadrado" más "cuatro X" que tenemos en la izquierda, ¿qué significa realmente? Una manera de entenderlo es ilustrando la ecuación parte por parte.
Primero tenemos "X al cuadrado". Eso se puede representar como un cuadrado midiendo cada uno de los lados X. Su área es "X por X", o lo que es lo mismo, "X al cuadrado". Luego viene el término "cuatro X". Eso sería un rectángulo con los lados X y cuatro.
Su área (base por altura) es "cuatro por X". Si pegamos el cuadrado al rectángulo -- obtenemos un rectángulo nuevo con el área "X al cuadrado" más "cuatro X". Y "X al cuadrado" más "cuatro X" es igual a cinco. Comparemos esto con la ecuación. "X al cuadrado" más "cuatro X" igual a cinco. Y ahora viene lo mejor.
Cojamos unas tijeras y cortemos el rectángulo pequeño por la mitad. Obtenemos dos rectángulos delgados, ambos con el área "dos X". Luego movemos uno y lo colocamos aquí. No hemos quitado nada. No hemos añadido nada.
Tan solo hemos cambiado las formas de sitio. Así que: esta figura sigue teniendo la misma área que al principio. El área sigue siendo cinco. La nueva figura es casi cuadrada. Pero sólo casi.
Falta un trocito en la esquina superior derecha. ¿Qué es lo que falta? Un cuadradito de lado -- ¡dos! Este cuadradito nos sirve para completar el cuadrado grande. Este método es conocido como "completar el cuadrado". Entonces, ¿cuánto mide el área de este cuadrado más grande?
Al principio nos dio cinco y luego lo completamos con dos por dos. El área mide cinco más cuatro, que da nueve. ¡Pero atención! Hay otra manera de describir el área de un cuadrado: ¡Su lado al cuadrado! Si cada lado mide "X más dos", el área es "X más dos" al cuadrado. Y ya sabemos que eso da nueve.
Al completar el cuadrado, hemos reescrito la ecuación de la que partíamos. "X al cuadrado" más "cuatro X" menos "cinco" es igual a cero ha pasado a ser: "X" más "dos al cuadrado" igual a nueve. Ya hemos hecho lo más complicado. Ahora toca resolver la ecuación. Al resolver una ecuación mediante una raíz cuadrada hay dos posibles soluciones. De modo que "X más dos" es igual a "más menos raíz cuadrada de nueve", que es "más menos tres". "X sub uno" más "dos" igual a "más tres". "X sub dos" más "dos" igual a "menos tres".
La ecuación tiene dos soluciones: "X" igual a "uno" y "X" igual a "menos cinco". Ya hemos resuelto una ecuación de segundo grado "completando el cuadrado". Tú no tienes por qué dibujar ni mover rectángulos en el papel. Podemos usar el método así sin más. Haz la prueba.
Ahora vamos a resolver la ecuación "dos X al cuadrado" menos "ocho X" más "seis" igual a cero. Vayamos paso a paso. Detén el vídeo si necesitas tiempo para pensar. Paso uno. El coeficiente delante de la "X al cuadrado" tiene que ser "uno", así que dividimos toda la expresión entre dos.
Obtenemos "X al cuadrado" menos "cuatro X" más "tres" igual a cero. Paso dos. Ponemos a la izquierda todas las X y el término constante a la derecha. Reescribimos la ecuación: "X al cuadrado" menos "cuatro X" es igual a menos tres. Paso tres.
Cogemos el coeficiente de delante del término de la X, en este caso el "menos cuatro", y lo partimos a la mitad, o lo que es lo mismo, lo dividimos entre dos. Nos queda menos dos. Paso cuatro - el paso decisivo en realidad. Primero elevamos al cuadrado el "menos dos", que nos da cuatro. Lo añadimos a ambos lados del igual.
Obtenemos: "X al cuadrado" menos "cuatro X" más "cuatro" es igual a "menos tres" más "cuatro", que es igual a uno. ¡Y fíjate! Esta expresión nos suena. Podemos aplicar la regla del cuadrado de un binomio. Y pasamos al -- paso cinco. Reescribimos la ecuación como "X" menos "dos al cuadrado", que da uno.
Entonces "X menos dos" es "más menos la raíz cuadrada de uno", que da "más menos uno". "X sub uno" igual a "más uno, más dos", que es igual a tres. "X sub dos" es igual a "menos uno más dos", igual a uno. Y hemos resuelto la ecuación, sí, completando el cuadrado.