Volumen y superficie óptimos

Lina está pensando en cómo hacer latas y al mismo tiempo usar la menor cantidad de metal posible. Eso sería óptimo. La lata que tiene en la mano contiene 330 mililitros. Para que sea fácil de sostener, la lata tiene la forma de un cilindro. El volumen del cilindro se calcula multiplicando el área de la base, que es un círculo, por la altura del cilindro.

Es decir, pi por el radio al cuadrado, que es el círculo, por la altura. La lata puede contener 330 mililitros, ó 330 centímetros cúbicos. Esa es la restricción en el volumen. Por lo tanto, la ecuación de restricción es pi por el radio al cuadrado por la altura, que es igual a 330. Calculamos la cantidad de material necesario sumando las tres áreas de la lata, la tapa, el fondo y la superficie curva alrededor de la lata.

Esta es el área de superficie total de un cilindro. La tapa y el fondo tienen forma de círculos. El área de la tapa es pi por el radio al cuadrado. Pero también tenemos un fondo, así que tenemos que multiplicar el área por dos. Hacemos un corte a lo largo de la altura de la superficie curva alrededor de la lata y la aplanamos.

Esa superficie tiene la forma de un rectángulo. El ancho del rectángulo es el perímetro de la lata. La altura del rectángulo es la altura de la lata. El área de esta superficie es el ancho por la altura o pi por dos veces el radio, por la altura. Suma las áreas de la tapa, la parte inferior y el rectángulo, y obtenemos la superficie total.

Lina quiere usar la menor cantidad de material posible. Quiere optimizar el área. Por lo tanto, debe averiguar qué valores del radio, r, y la altura, h dan el área más pequeña. Esto significa que la fórmula para calcular la superficie total es una ecuación de optimización. Se puede simplificar para que contenga solo un valor desconocido.

Probemos reemplazando h en la ecuación de optimización utilizando la ecuación de restricción. Divide por 'pi y el radio al cuadrado' a ambos lados del signo igual. Entonces h, la altura, es igual a: 330 dividido por 'pi por el radio al cuadrado'. Ahora reemplazamos h en la ecuación de optimización con '330 dividido por pi por el radio al cuadrado' La nueva fórmula del área de superficie total se convierte en 'pi por el radio al cuadrado, por dos, más 660 dividido por el radio'. Pausa la película y asegúrate de que sea correcto. ¿Cómo obtenemos ahora el área más pequeña y óptima?

Probemos diferentes valores de r con una tabla. Introduce algunos valores para el radio, r, en la columna A. Y en la columna B, escribe los diferentes valores que obtienes. A medida que aumenta el radio, la superficie total disminuye, hasta que el radio haya aumentado a 5, ya que entonces el área aumenta de nuevo. Por ello, allí donde el radio es de unos 4 centímetros, esa es la superficie total más pequeña.

Pero no es seguro que sean exactamente 4 centímetros los que den la menor superficie total. Con el radio 3,9 [3.9] obtenemos una superficie total más pequeña. Probamos con 3,8...3,7...3,6...! [¡Probamos con 3.8...3.7...3.6...!] ¡Ajá! El área se vuelve más pequeña hasta que el radio se reduce a 3,7.[3.7] Intentémoslo con dos decimales. Entonces el área más pequeña es cuando el radio es 3,74 [3,74].

Puedes continuar con tres, cuatro y cinco decimales, pero nos detendremos aquí. Si el radio es de 3,74 [3,74] centímetros, la altura es de unos 7,5 [7,5] centímetros. Un radio de 3,74 [3,74] centímetros significa que el diámetro es de 7,48 [7,48] centímetros. Redondeamos esto a 7,5. [7.5] Por lo tanto, el diámetro tiene más o menos la misma longitud que la altura. El área superficial total mínima de un cilindro parece ser cuando la altura es igual al diámetro.

Así es como se debe hacer una lata con forma de cilindro, para consumir el mínimo material. Este es el resultado óptimo para Lina. Pero la altura de la lata que tiene Lina es mayor que el diámetro. Esto es probablemente porque es más fácil de llevar y beber de tal lata. Ay Lina...

por favor/ en serio.