Optimización de perímetros y áreas

Maria está planeando construir un invernadero de cristal. Para que le quepan todas las plantas, el invernadero debe tener un tamaño de 36 metros cuadrados. Para facilitar la construcción, ha elegido una forma rectangular. El cristal es caro, por lo que quiere utilizar la menor cantidad posible. Quiere que el perímetro de cristal alrededor del invernadero sea lo más pequeño posible.

Eso sería lo mejor: optimizarlo. ¿Cómo podemos hacerlo? Probemos con algunos números… 12 metros por 3 metros equivale a un área de 36 metros cuadrados. El perímetro es 12 más 3 más 12 más 3, es decir, 30 metros. Pero con 9 metros de largo, se necesita un ancho de 4 metros para obtener un área de 36 metros cuadrados. Por lo tanto, el perímetro es 9 más 4 más 9 más 4, es decir, 26 metros.

Este perímetro es más pequeño, es un resultado más óptimo. ¿Cómo podemos saber cuándo obtenemos el mejor resultado, el perímetro más pequeño? Para averiguarlo, empleamos letras, variables, para el largo y el ancho. Si la longitud del invernadero es x y el ancho es y, entonces la fórmula para el área es: x por y. Maria quiere un invernadero de exactamente 36 metros cuadrados. Quiere restringir el área a esta cifra.

x por y igual a 36 es, por tanto, la ecuación de restricción. El perímetro es x más y más x más y, es decir, 2x más 2y. El resultado óptimo y deseado de Maria es minimizar el perímetro. La fórmula del perímetro es la ecuación de optimización. Empleamos dos valores desconocidos, x e y, para calcular el perímetro.

Pero sería más fácil si solo tuviéramos un valor desconocido. La fórmula se puede cambiar para que solo contenga un valor desconocido. Vamos a elegir la x, la longitud, y volvemos a la ecuación de restricción: x por y es igual a 36. Ahora dividiremos las dos partes de la ecuación por x: y equivale entonces a 36 dividido por x. Sustituiremos y en la ecuación de optimización por 36 dividido por x.

El perímetro es 2x más 2y, es decir, 2x más 2 por 36 dividido por x, y 2 por 36 son 72. Para el vídeo y comprueba que sea correcto. Ahora haremos una tabla donde introduciremos distintos valores de la longitud del invernadero, x, y veremos lo que obtenemos para el perímetro. En la primera columna, A, introduciremos el valor x. En la siguiente columna, B, introduciremos la fórmula para el perímetro: 2x más 72 dividido por x.

Los paneles de cristal más baratos que María ha encontrado miden 1 metro de ancho. Así que aumentaremos la x por 1 en cada celda de la columna A. Si x es igual a 1, el perímetro es 2 por 1 más 72 dividido por 1, que es igual a 74. Luego, aumentamos la x en 2 y volvemos a calcular el perímetro. Vemos que el perímetro disminuye a medida que el valor x aumenta.

Pero, cuando x se convierte en 7, el perímetro empieza a aumentar. De todos los valores de x que examinamos, obtenemos el perímetro más pequeño cuando x es igual a 6. Por lo tanto, el ancho, y, es igual a 36 dividido por 6, que da 6. Si Maria construye un invernadero con una longitud de 6 metros y un ancho de 6 metros, obtiene 36 metros cuadrados. El invernadero debe tener la forma de un cuadrado.

De esta forma, se obtendrá el perímetro más pequeño, el resultado óptimo para Maria.