Etusivu
Tehtävät
Kirjanmerkit
Toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen käyttämällä tulon nollasääntöä
Why do we factorize quadratic equations?
Hei Kim! Näetkö tuon kahdentoista tuolla? Tiedätkö kuinka jakaa se useisiin tekijöihin? Aivan. Olet oppinut sen.
Kaksitoista on yhtä kuin kolme kertaa neljä. Ja koska neljä on yhtä kuin kaksi kertaa kaksi, voimme kirjoittaa sen näin: kaksitoista on yhtä kuin kolme kertaa kaksi kertaa kaksi. Sitä mitä juuri teimme, kutsutaan tekijöihin jakamiseksi. Otimme luvun 12 ja kirjoitimme sen kolmen tekijän tulona. Voit jakaa tekijöihin kaikki yhdistetyt luvut (toisin sanoen luvut, jotka eivät ole alkulukuja) mutta voit myös jakaa matemaattisia lausekkeita tekijöihin.
Esimerkiksi, katso lauseketta "x toiseen" plus "kolme x". Meillä on kaksi termiä lausekkeessa, ja molemmissa termeissä on yhteinen x-tekijä. Joten otamme pois x:n ja kirjoitamme lausekkeen näin: x kertaa "x-plus-kolme" suluissa. Olemme kirjoittaneet lausekkeen tulona, jonka tekijät ovat x ja "x-plus-kolme". Olemme suorittaneet lausekkeen tekijöihin jakamisen.
Otetaan toinen esimerkki. Voimmeko jakaa tekijöihin lausekkeen "kaksi-x-toiseen" plus "8-x" plus kahdeksan? Kaikille termeille on yhteistä tekijä kaksi. Joten otamme pois "kaksi", ja lauseke on yhtä kuin kaksi - sulku auki - "x-toiseen" plus "neljä-x" plus "neljä" - sulku kiinni. Katso nyt lauseketta sulkumerkkien sisällä.
Muistuttaako kaava sinua jostakin? Muistatko ensimmäisen säännön binomin neliöinnistä? Siitä on erillinen video. Lausekkeella, jonka näemme tässä, on sama kaava kuin silloin, kun lavennamme binomia käyttäen ensimmäistä sääntöä binomin neliöinnistä. Joten kokeillaanpa, työskennellen takaperin. "x-toiseen" plus "neljä-x" plus neljä on yhtä kuin (x-plus-kaksi) toiseen.
Tämä tarkoittaa, että ensimmäinen lauseke voidaan kirjoittaa "kaksi kertaa x" plus "kaksi toiseen", ja olemme tehneet tekijöihin jakamisen useassa vaiheessa. Entä tämä lauseke? Voidaanko sekin jakaa tekijöihin? Tässä voimme käyttää toista sääntöä binomin neliöintiin, ja näemme, että lauseke on yhtä kuin x-miinus-neljä toiseen. Kuinka voimme soveltaa tätä?
Voimme ratkaista toisen asteen yhtälöitä käyttäen jakamista tekijöihin. Mennään takaisin ensimmäiseen lausekkeeseen, "x-toiseen" plus "kolme-x". Laitamme lausekkeen yhtälön vasemmaksi puoleksi ja oikealle puolelle nollan - näin. Kuinka ratkaisemme yhtälön? Me jaamme tekijöihin, kuten aiemmin.
Tässä tapauksessa otamme erilleen x:n, jolloin voimme kirjoittaa näin: x kertaa "x-plus-kolme" on yhtä kuin nolla. Mikä tahansa kerrottuna nollalla on aina yhtä kuin: nolla. Tämä tarkoittaa, että jos joku tekijöistä on nolla, koko lauseke on nolla. Ja näin saamme ratkaisun yhtälöön. Jos x on yhtä kuin nolla, koko lauseke on nolla.
Siten "x on yhtä kuin nolla" on yksi yhtälön ratkaisuista. Toisen ratkaisun saamme, kun "x plus kolme" on yhtä kuin nolla. Tämä tarkoittaa, että x on yhtä kuin miinus kolme on toinen yhtälön toinen ratkaisu. Vielä yksi esimerkki, käyttäen lauseketta, jonka näimme aiemmin. Jos sanomme: kaksi x toiseen plus kahdeksan x plus kahdeksan on yhtä kuin nolla, kuinka me ratkaisemme tämän yhtälön?
Kun jaamme sen tekijöihin, vasemmasta puolesta tulee: kaksi kertaa "x plus kaksi" toiseen, ja se on myös yhtä kuin nolla. Voimme jakaa molemmat puolet kahdella. Ota kakkonen pois tuolta; ja nolla jaettuna kahdella on silti nolla. Tämä tarkoittaa, että "x plus kaksi" toiseen on myös yhtä kuin nolla. Olemme lähellä yhtälön ratkaisua kun kirjoitamme: "x plus kaksi" on yhtä kuin nolla.
x on yhtä kuin miinus kaksi. Tällä tavoin voimme ratkaista joitakin toisen asteen yhtälöitä jakamalla lausekkeet tekijöihin. Aloita uudelleenkirjoittamalla yhtälö niin, että oikea puoli on nolla. Katso, voitko jakaa vasemman puolen tekijöihin. Etsi kaavoja kuten: yhteinen nimittäjä, neliöiden erotus, ja binomin neliöinnin kaksi sääntöä.
Jos voimme jakaa tekijöihin, voimme löytää yhtälön ratkaisun jos yksi tekijöistä voidaan asettaa nollaksi. Ratkaise yhtälö! Siinä tekijöihin jakaminen!