Etusivu
Tehtävät
Kirjanmerkit
Neliöllisten yhtälöiden ratkaiseminen neliön täydentämisellä
What number do you add to both sides of the equation when completing the square of ?
On erilaisia tapoja ratkaista neliöllisiä yhtälöitä. Tässä on yksi aika elegantti. Jos otat aikaa ymmärtääksesi tämän, pystyt ratkaisemaan kaikki neliölliset yhtälöt tarvitsematta käyttää mitään kaavaa. Katso tätä yhtälöä. "X toiseen plus 'neljä x' miinus 'viisi' on yhtä kuin 'nolla'. Ennen kuin käytämme tätä metodia, meidän täytyy siivota yhtälöä.
Haluamme koota kaikki x:n sisältävät termit vasemmalle puolelle, ja haluamme muuttumattoman termin oikealle. Meillä on nyt 'x toiseen' plus 'neljä x' vasemmalla -- Ja viisi oikealla. Nyt yhtälö on muodossa, jota voimme käyttää. Tämä 'x toiseen' plus 'neljä x', joka on vasemmalla: Mitä se oikein tarkoittaa? Yksi tapa ymmärtää tätä on kuvailla yhtälö pala palalta.
Ensin, meillä on 'x toiseen'. Voimme näyttää sen neliönä, jokaisen sivun ollessa x. Sen pinta-ala on 'x kertaa x': toisin sanoin 'x toiseen'. Sitten siellä on termi 'neljä x'. Tämä olisi suorakulmio, jonka sivut ovat x ja neljä.
Pinta-ala, pohja kertaa korkeus on 'neljä kertaa x'. Jos lisäämme neliön suorakulmioon -- Saamme uuden suorakulmion, jonka pinta-ala on 'x toiseen' plus 'neljä x'. Ja 'x toiseen' plus 'neljä x' on yhtä kuin viisi. Vertaa tätä yhtälöön. 'X toiseen' plus 'neljä x' on yhtä kuin viisi. Nyt tässä on fiksu juttu.
Otamme sakset ja leikkaamme pienen suorakulmion puoliksi. Saamme kaksi ohutta suorakulmiota, joiden molempien pinta-ala on 'kaksi x'. Sitten liikutamme yhtä niistä ja asetamme sen tähän. Emme ole siirtäneet mitään, emme ole lisänneet mitään. Olemme vain liikutelleet kuvioita.
Joten tällä kuviolla on sama pinta-ala kuin alunperin. Pinta-ala on vielä viisi. Uusi kuvio näyttää melkein neliöltä -- Mutta vain melkein. Pieni osa puuttuu oikeasta yläkulmasta. Mikä puuttuu?
Pieni neliö -- jonka sivu on -- kaksi! Voimme käyttää tätä pientä neliötä täyttämään ison. Tätä metodia kutsutaan 'neliön täydentämiseksi'. Joten mikä on tämän isomman neliön pinta-ala? Ensin meillä oli viisi, ja sitten täydennämme sen kaksi kertaa kahdella.
Pinta-ala on viisi plus neljä, joka on yhteensä yhdeksän. Mutta odota! On toinenkin tapa kuvata neliön pinta-alaa: sivu...toiseen! Jokainen sivu on 'x plus kaksi', joten pinta-ala on 'x plus kaksi' toiseen. Ja tiedämme jo, että se on yhteensä yhdeksän.
Täyttämällä neliön olemme kirjoittaneet yhtälön, joka meillä alunperin oli. 'X toiseen' plus 'neljä x' miinus 'viisi' on yhtä kuin 'nolla' -- 'x' plus 'kaksi toiseen' on yhtä kuin 'yhdeksän'. Siinä, olemme tehneet vaikean osuuden. Nyt ratkaisemme yhtälön. Ja kun ratkaisemme yhtälön käyttäen neliöjuurta, on kaksi mahdollista ratkaisua. Joten 'x plus kaksi' on yhtä kuin 'plus tai miinus yhdeksän neliöjuuri', joka on 'plus tai miinus kolme'. 'X yksi' plus 'kaksi' on yhtä kuin 'plus kolme'. 'X kaksi' plus 'kaksi' on yhtä kuin 'miinus kolme'.
Meillä on kaksi ratkaisua yhtälölle. 'X' on yhtä kuin 'yksi', Ja 'x' on yhtä kuin 'miinus viisi'. Joten olemme ratkaisseet neliöllisen yhtälön 'täydentämällä neliöksi'. Sinun ei tarvitse piirtää ja siirtää suorakulmioita ympäri paperia. Voimme käyttää tätä tapaa joka tapauksessa. Katsopa.
Nyt aiomme ratkaista yhtälön 'kaksi x toiseen' miinus 'kahdeksan x' Plus 'kuusi' on yhtä kuin 'nolla'. Tehdään tämä askel kerrallaan. Pysäytä video, jos tarvitset aikaa ajatella. Askel yksi. Kerroin 'x toiseen' edessä tulee olla 'yksi', joten jaamme koko lausekkeen 'kahdella'.
Saamme 'x toiseen' miinus 'neljä x' plus 'kolme' on yhtä kuin 'nolla'. Askel kaksi. Kerää kaikki termit x:llä vasemmalle puolelle, ja muuttumaton termi oikealle puolelle. Me uudelleenkirjoitamme yhtälön muotoon 'x toiseen' miinus 'neljä x' on yhtä kuin 'miinus kolme'. Askel kolme.
Ota kerroin x-termin edestä, tässä tapauksessa 'miinus neljä' me aiomme halkaista sen kahtia, toisin sanoin, jakaa kahdella. Tulos on miinus kaksi. Askel neljä, itse tehtävän tekeminen. Ensin kerromme toiseen 'miinus kaksi' ja saamme 'neljä'. Lisää tämä molemmille puolille yhtäläisyysmerkkiä.
Saamme ' x toiseen' miinus 'neljä x' plus 'neljä' on yhtä kuin 'miinus kolme' plus 'neljä' on yhtä kuin 'yksi'. Ja katso! Lauseke näyttää tutulta. Voimme käyttää sääntöä 'binomin neliöinti'. Ja mene -- askeleeseen viisi.
Nyt kirjoitamme yhtälön kuin 'x' miinus 'kaksi toiseen', joka on yhteensä 'yksi'. 'X miinus kaksi' silloin on, 'plus tai miinus yhden neliöjuuri', joka on 'plus tai miinus yksi'. 'x yksi' on yhtä kuin 'plus yksi, plus kaksi' on yhtä kuin 'kolme'. 'x kaksi on yhtä kuin 'miinus yksi, plus kaksi', on yhtä kuin 'yksi'. Ja olemme ratkaisseet yhtälön, kyllä, täydentämällä neliöksi.