Kahden pisteen välinen etäisyys

Tässä on kaksi pistettä. Kuinka kaukana ne ovat toisistaan? Kuinka mittaamme etäisyyden A:n ja B:n välillä? Voimme käyttää viivainta tai mittanauhaa. Jos katsot tätä videota matkapuhelimellasi ja käytät viivainta, saat kaksi ja puoli senttimetriä.

Jos katsot tätä videota projektorilla ja käytät viivainta saat 55 senttimetriä. Se ei ollut sama tulos. Onko parempaa tapaa? Voimme laskea etäisyyden mittaamisen sijaan. Laskeaksemme etäisyyden tarvitsemme koordinaatiston.

Ahaa! Nyt pisteet ovat koordinaatistossa. Piste A:n x-arvon voi lukea suoraan pisteen kohdasta x-akselilla: 5. Sama pisteen B suhteen. Suoraan pisteen B alla x-akselilla lukee numero 1.

Ero on 5 miinus 1, joka on 4. Etäisyys on 4. Nyt emme tiedä onko se senttimetriä, metriä vai jotain muuta pituuden yksikköä, joten toteamme vaan, että vastaus on 4 pituusyksikköä. Mutta entä jos pisteet ovat enemmänkin näin? Jos katsomme eroa pisteiden x-arvoissa vastaus on: nolla pituusyksikköä.

Toisaalta näemme, että y-akselilla pisteen A arvo on kaksi ja pisteen B arvo miinus yksi. Ero on kaksi miinus miinus yksi ja koska miinuksesta ja miinuksesta tulee plus silloin siitä tulee 2 plus 1, joka on yhteensä 3 pituusyksikköä. Se oli aika helppoa. Mutta entä jos viiva pisteiden välillä ei ole yhdensuuntainen x-akselin eikä y-akselin kanssa? Jos ne ovat esimerkiksi tällä tavalla?

Yksi pisteistä on x-akselin yläpuolella ja toinen on alapuolella vinottain. Yritä lukea x-akselilta. Neljä. Ei. Se on aivan liian vähän, eikö?

Entä y-akselilla sitten? Kolme? Ei, liian lyhyt. Kuinka? Tässä keino!

Luo suorakulmainen kolmio. Merkkaa mitattava etäisyys viivalla pisteiden välillä. A:sta B:hen. Sitten pisteestä B suora viiva oikeaan, x-akselin suuntaisesti. Ja viiva pisteestä A alas, missä se kohtaa ensimmäisen viivan.

Pisteiden välinen etäisyys on suorakulmaisen kolmion pitkä sivu. Tätä sivua kutsutaan hypotenuusaksi. Ja nämä kaksi etäisyyttä voimme helposti lukea x- ja y-akseleilta. Suorakulmaisen kolmion lyhyitä sivuja kutsutaan kateeteiksi. Mutta tämähän näyttää tutulta, eikö?

Hypotenuusa, kateetit, suorakulmainen kolmio. Pythagoraan lause! Voimme laskea hypotenuusan, pituuden, jota haemme, Pythagoraan lauseella. Pisteellä A on x-akselilla arvo 5 ja y-akselilla arvo 2. Merkitsemme tämän kirjoittamalla 5 ja 2 sulkujen sisään.

Ensimmäinen arvo on x ja toinen on y-arvo. Pisteessä B x = 1 ja y = -1. Yhden kateetin pituuden, kutsutaan sitä 'a':ksi, me laskimme jo: 4. Toisen kateetin pituuden, kutsutaan sitä 'b':ksi, tiedämme olevan 3. Pythagoraan lauseen mukaan, c toiseen on yhtä kuin a toiseen plus b toiseen.

A:n ja b:n sivujen neliöt ovat: 4 kertaa 4, joka on yhteensä 16, ja 3 kertaa 3, joka on yhteensä 9. C toiseen on sitten 16 plus 9, joka on yhteensä 25. Laske neliöjuuri c toiseen saadaksesi etäisyys c, joka on pisteiden välinen etäisyys. 25:n neliöjuuri on 5. Pisteiden A ja B välinen etäisyys on 5 pituusyksikköä.

Hyvä juttu! Nyt osaamme mitata minkä tahansa kahden pisteen etäisyyden koordinaatistossa. Mihin me voisimme käyttää sitä? No, katso tänne. Voimme käyttää tätä menetelmää laskeaksemme etäisyyden kartalla.

Kartta on valtava koordinaatisto. Mutta kartalla kutsumme x-arvoa pituusasteeksi ja y-arvoa leveysasteeksi.