Optimaalinen piiri ja pinta-ala

Maria aikoo rakentaa lasisen kasvihuoneen. Jotta kaikille hänen haluamilleen kasveille on tilaa, kasvihuoneen tulee olla kooltaan 36 neliömetriä. Tehdäkseen siitä helposti rakennettavan, hän on valinnut muodoksi suorakulmion. Lasi on kallista, joten hän haluaa käyttää sitä niin vähän kuin mahdollista Hän haluaa kasvihuoneen ympärillä olevan lasipiirin olevan niin pieni kuin mahdollista. Tämä olisi parasta, optimaalisinta.

Kuinka teemme sen? Koitetaanpa muutamaa lukua... 12 metriä kertaa 3 metriä tuottaa pinta-alan 36 neliömetriä. Piiri on siten 12 plus 3 plus 12 plus 3, yhteensä 30 metriä. Mutta 9 metrin pituudella, tarvitaan 4 metrin leveys, että saadaan 36 neliömetriä.

Joten piiri on 9 plus 4 plus 9 plus 4, yhteensä 26 metriä. Se on pienempi piiri, eli optimaalisempi tulos. Kuinka voimme tietää, milloin saamme parhaan tuloksen, pienimmän piirin? Saadaksemme sen selville, käytämme kirjaimia, muuttujia, pituudelle ja leveydelle. Jos kasvihuoneen pituus on x ja leveys on y, silloin pinta-alan kaava on: x kertaa y.

Maria haluaa kasvihuoneen, joka on tasan 36 neliömetriä. Hän haluaa rajata alueen tähän. X kertaa y on yhtä kuin 36 on siten rajoiteyhtälö. Piiri on x plus y plus x plus y, yhtä kuin 2x plus 2y. Marian haluttu, optimaalinen tulos on minimoida piiri.

Piirin kaava on optimointiyhtälö. Käytämme kahta tuntematonta arvoa, x ja y, laskeaksemme piirin. Mutta olisi helpompaa, jos meillä olisi vain yksi tuntematon arvo. Kaavaa voidaan muuttaa niin, että se sisältää vain yhden tuntemattoman arvon. Valitaan x, pituus.

Nyt takaisin rajoiteyhtälöön: x kertaa y on yhtä kuin 36 Jaa molemmat yhtälön puolet x:llä. y on sitten 36 jaettuna x:llä. Sitten korvaamme y:n optimointiyhtälössä 36 jaettuna x:llä. Piiri on 2x plus 2y on yhtä kuin 2x plus 2 kertaa 36 jaettuna x:llä ja 2 kertaa 36 on 72. Pysäytä video ja tarkista, että se on oikein.

Nyt tehdään taulukko, jossa laitamme kasvihuoneen pituuden arvot, x, ja näemme mitä saamme piiriksi. Ensimmäisessä sarakkeessa, A; laitamme x-arvon. Seuraavassa sarakkeessa, B, laitamme piirin kaavan: 2x plus 72 jaettuna x:llä. Halvimmat Marian löytämät lasilevyt ovat yhden metrin levyisiä. Joten lisätään x:ää yhdellä joka askeleella sarakkeessa A.

Jos x on yhtä kuin 1. piiri on 2 kertaa 1, plus 72 jaettuna yhdellä, on yhtä kuin 74. Sitten nostamme x:n kahteen ja laskemme piirin uudelleen. Näemme, että piiri pienenee kun x kasvaa, Mutta kun x tulee 7, piiri alkaa suureta. Kaikista x:n arvoista, joita tutkimme, saamme pienimmän piirin kun x on yhtä kuin 6.

Sitten leveys, y, joka on yhtä kuin 36 jaettuna 6:lla, joka on 6. Jos Maria rakentaa kasvihuoneen, jonka pituus on 6 metriä ja leveys 6 metriä, hän saa 36 neliömetriä. Kasvihuoneen tulisi olla neliön muotoinen. Tämä antaa pienimmän piirin, optimaalisen tuloksen Marialle.