Kulmien ja puolittajien rakentaminen ilman astemittaa

Piirrettäessä kulmia voimme käyttää astemittaa. Mutta voimme tehdä sen myös eri tavalla, käyttäen harppia ja viivoitinta. Katso tämä! Aloittaaksemme piirrä suorakulma, 90 astetta. Piirrä suora viiva kahden pisteen välille.

Kirjoita iso A viivan toiseen päähän ja iso B toiseen päähän. Laita harpin neula pisteeseen A. Säädä harppia niin, että säde on suurempi kuin puolet A:n ja B:n välimatkasta. Ja nyt piirrä kaari viivan yläpuolelle ja alapuolelle. Sitten - muuttamatta harpin asetuksia - laita neula pisteeseen B.

Tee sama - piirrä kaari viivan yläpuolelle ja alapuolelle. Uusien kaarien tulisi leikata aiemmat. Merkkaa C ja D sinne, missä kaaret leikkaavat toisensa. Nyt: piirrä viiva C:stä D:hen. Kirjoita E siihen, missä uusi viiva leikkaa viivan AB.

Koska emme muuttaneet harpin asetuksia, etäisyydet pisteiden A ja C, B ja C, A ja D sekä B ja D välillä ovat yhtä suuret. Eikö totta? Koska kaikki etäisyydet ovat samoja kuin harpin säde! Lisäksi piste E päätyy tarkalleen A:n ja B:n puoliväliin. ...kaikki nämä asiat yhdessä tarkoittavat, että kulmat pisteessä E ovat täsmälleen 90 astetta. Joskus haluamme jakaa kulman kahteen yhtä suureen osaan.

Kun teemme näin, viivaa, joka jakaa kulman, kutsutaan puolittajaksi. Nyt haluamme tehdä sen 90 asteen kulmalla, jonka juuri piirsimme. Kuinka teemme sen? Näin: Laita harpin neula pisteeseen E. Piirrä kaari, joka leikkaa viivat AB ja CD.

Pidä sama säde harpissa - ja laita neula siihen, missä kaari leikkaa CD:n. Piirrä sitten toinen kaari viivojen AB ja CD väliin. Jatka samalla säteellä harpissa. Piirrä toinen kaari, nyt harpin neula siinä, missä kaari leikkaa AB:n. Piirrä viiva E:stä pisteeseen, jossa kaaret leikkaavat toisensa.

Koska harpin säde ei muuttunut, kaaret leikkaavat täsmälleen samalla etäisyydellä pisteistä C ja B. Ja se tarkoittaa, että jos piirrämme viivan siitä pisteestä pisteeseen E, suora kulma E:ssä jakautuu kahteen yhtä suureen osaan. Siis kahteen 45 asteen kulmaan. Käyttämättä astemittaa olemme piirtäneet 90 asteen kulman ja jakaneet sen kahteen 45 asteen kulmaan. Piirretään kulmia, jotka ovat 60 astetta.

Tasasivuisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat 60 astetta. Voimme käyttää tätä auttamaan meitä. Ota harppi ja viivoitin. Ensin piirrä viiva kahden pisteen välillä. Merkkaa yksi loppupiste P:ksi ja toinen Q:ksi.

Laita neula P:hen ja piirrä kaari, joka menee Q:hun. Säteellä on sitten sama pituus kuin viivalla PQ. Tee sama neula Q:ssa ja piirrä kaari, joka menee P:hen. Merkkaa R-kirjaimella piste, missä kaaret leikkaavat toisensa. Ja nyt piirrä viiva P:n ja R:n välille ja Q:n ja R:n välille.

Harpin säde oli sama pituus kuin se oli, kun piirsimme viivat PQ ja QR. Nyt meillä on kolmio kolmella yhtä pitkällä sivulla - tasasivuinen kolmio - ja siksi kulma viivojen välillä on 60 astetta. Muidensuuruisten kulmien piirtämiseksi voimme yhdistää 60:n, 90:n tai 45:n asteen kulmia. 135 astetta on 90 plus 45. 150 astetta on 90 plus 60 15 astetta on 60 miinus 45...

Ja voit jatkaa ja jatkaa...