Har du lärt dig vad naturliga tal, heltal och rationella tal är, så är det dags att gå vidare. Och för att gå vidare så behöver vi de irrationella talen.

Minns du att rationella tal är de tal som kan anges som ett bråk av två heltal? I antikens Grekland så trodde matematiker länge att alla tal kunde beskrivas som en kvot av två heltal.

En dag, för sådär 2500 år sen, upptäckte man att det här inte stämde riktigt. Det fanns tal som inte kunde skrivas ut i bråkform - faktum är att de inte kunde beskrivas fullständigt över huvudtaget!

Dessa tal som inte är rationella kallar vi idag för irrationella tal. Det betyder att de inte kan skrivas ut som ett bråk.

Bland de irrationella talen känner du kanske igen de här:

π = 3,14159...

√2 = 1,41421...

e = 2,71828...

Φ = 0.618034...

Det första är den grekiska bokstaven pi, π, som anger förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Det andra irrationella talet är kvadratroten av 2, √2. Det tredje är Eulers tal, e, och det fjärde är det gyllene snittet, med grekiska bokstaven fi. Men det finns många fler irrationella tal än de här. Oändligt många fler!

När du skriver tal i decimalform kan du se vilka som är rationella och vilka som är irrationella. Ett rationellt tal i sin decimalform har antingen ett ändligt antal decimaler, som 3/4 = 0,75, eller 7/8 = 0,875. Eller så repeteras decimalerna, som för 1/3 = 0,333..., 5/9 = 0,555....

De irrationella talen har däremot en oändlig decimalföljd som inte har något mönster. Den upprepas aldrig.

Kvadratroten av de flesta talen är irrationella, utom för tal som är perfekta kvadrater eller kvadratrötter som är kvoter av perfekta kvadrater.

1, 4, 9, 16 är kvadraten av 1, 2, 3 och 4. De är exempel på perfekta kvadrattal. Roten ur en perfekt kvadrat är rationell, eftersom det är ett naturligt tal.

Kvadratroten ur en kvot av av perfekta kvadrater bildar ett bråk. Och därför är alla kvadratrötter ur kvoter av perfekta kvadrater rationella, alla andra kvadratrötter är irrationella.

Det finns oändligt många irrationella tal

På tallinjen ryms det hur många rationella tal som helst mellan två heltal - oändligt många. Men det finns fortfarande tal som inte kan skrivas ut som bråktal - de är de irrationella talen. Det finns alltså hål i tallinjen, som inte kan fyllas ut ens med ett oändligt antal rationella tal. För att fylla ut de här hålen behövs de irrationella talen, som det också finns ett oäntligt antal av.

Tillsammans så fyller de irrationella och rationella talen upp varje hål på tallinjen och gör att det blir just en sammanhängande linje. Den här gruppen - de rationella och de irrationella talen - kallas för de reella tal. Därför kallas också tallinjen ibland för den reella tallinjen. Talmängden bestående av alla reella tal skrivs som stora R.

Här är en tallinje:

De reella talen fyller upp varje punkt, utan några hål. Bland de reella talen finns heltalen, som är både positiva och negativa, och som inkluderar talet 0. De positiva heltalen och noll är de naturliga talen.

Mellan heltalen finns resten av de rationella talen, de som kan skrivas som ett bråk.

Inklämda mellan de rationella talen finns de irrationella som inte kan skrivas som ett bråk. Rationella och irrationella tal täcker varenda punkt på linjen och kallas tillsammans för reella tal.

Hela figuren utgörs av de reella talen. De irrationella och de rationella är två skilda talmängder. Bara de rationella talen innehåller heltalen och de naturliga talen. På den sidan av bilden ingår den mindre talmängden i den större.

Sammanfattning

De naturliga talen, N, är 0, 1, 2, 3...
De hela talen, Z, är alla de naturliga talen och dessutom de negativa talen -1, -2, -3...
De rationella talen, Q, är alla tal som kan skrivas som en kvot av heltal.
De irrationella talen är alla tal som inte kan skrivas som en kvot av heltal.
De reella talen, R, innehåller hela Q och alla irrationella tal.

Les nombres irrationnels