Le théorème de Pythagore

Voici Pythagore, un autre parmi les Grecs anciens. Il a vécu quelques siècles avant Euclide, il y a environ 2500 ans sur l'île de Samos dans l'archipel grec de la mer Égée. Pythagore était mathématicien et philosophe. Aujourd'hui, il est surtout connu pour le théorème de Pythagore. Il s'agit d'une formule mathématique qui décrit les relations entre les longueurs des trois côtés du triangle rectangle.

Il est prouvé que cette relation était déjà connue en Grèce lorsque Pythagore l'a écrite et que les mathématiciens en Chine et en Inde l'ont probablement découverte peut-être même plus tôt, mais on appelle toujours cette formule le théorème de Pythagore. Voici à quoi il ressemble, si tu dessines le théorème de Pythagore, commence par un triangle rectangle. Dessine un carré de chaque côté. Si tu ajoutes les aires des deux petits carrés ensemble, tu as la même surface que le plus grand carré. Mets la vidéo sur pause et compte les cases pour vérifier.

Le plus grand carré est de 5x5, 25 cases. Le milieu est de 4x4, 16 cases et le plus petit est de 3x3, 9 cases et 25 est égal à 16 + 9. Ou, plus généralement, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux côtés les plus courts. Cela fonctionne avec les triangles rectangles. Voici deux définitions que tu dois connaître.

Le côté le plus long d'un triangle rectangle est appelé l'hypoténuse et les deux côtés plus courts sont appelés cathètes. On désigne souvent l'hypoténuse par la lettre C et les deux cathètes par les lettres A et B. On peut maintenant écrire le théorème de Pythagore comme C au carré est égal à A au carré plus B au carré. Pour utiliser le théorème de Pythagore, tu dois être capable de résoudre des équations. Voici un triangle rectangle dont on sait les longueurs des deux cathètes mais pas l'hypoténuse.

Pose les valeurs dans le théorème de Pythagore. C au carré est égal à 5 au carré plus 12 au carré. Calcule les carrés et ajoute-les. Arrive maintenant la partie intéressante. Que faire à partir de là ?

L'hypoténuse au carré est 169. Comment résous-tu une expression exponentielle ? Le contraire des expressions exponentielles sont des expressions racine, nous prenons donc la racine carrée des deux côtés de l'équation. La racine carrée de C au carré est égale à la racine carrée de 169. La racine carrée de C au carré est C.

Voilà pourquoi on a utilisé l'expression racine. Cherche la racine carrée de 169 sur ta calculatrice et tu obtiens 13. L'hypoténuse C est 13. Le théorème de Pythagore fonctionne sur tous les triangles rectangles, mais pas sur les autres types de triangles. Le carré du côté le plus long, l'hypoténuse, est égal à la somme du carré des cathètes, les deux côtés les plus courts.

Pour résoudre un problème avec le théorème de Pythagore, pose les valeurs que tu as et résous l'équation. Prends la racine carrée des deux côtés après avoir isolé les valeurs inconnues au carré d'un côté. Voici un bonus, prends un triangle rectangle et donne aux deux cathètes la longueur une. L'hypoténuse est alors un nombre irrationnel, la racine carrée de deux. C'est ce que les hypaspistes ont découvert et ce qui a ennuyé les pythagoriciens parce qu'ils croyaient que tous les nombres devaient être rationnels.

Regarde la leçon sur les « nombres irrationnels » pour en savoir plus.