Logarytmy

Zaraźliwy wirus atakuje społeczeństwo. Choroba zaczyna się rozprzestrzeniać. Każdego dnia zarażonych osób jest dwa razy więcej niż dzień wcześniej, czyli jest ich dwukrotnie więcej. Dzisiaj zarażona jest 1 osoba. Jutro zarażone są 2 osoby.

Po dwóch dniach 2 razy 2 osoby są zarażone. To jest 2 do 2 potęgi. Po trzech dniach 2 razy 2 razy 2 osób jest zarażonych. 2 do 3 potęgi. I tak dalej.

Każdego dnia pojawia się dwa razy więcej nowych infekcji. Ile dni minie zanim zostaną zarażone 32 osoby? 2 razy 2 razy 2 razy … Ile dwójek musimy ze sobą pomnożyć aby otrzymać wynik 32? Innymi słowy, do której potęgi należy ponieść 2, aby otrzymać 32? 2 podniesione do jakiejś potęgi, którą nazwiemy x równa się 32.

Czym jest ten x? Najpierw musimy sobie powtórzyć, że 2 to podstawa wyrażenia 2 do potęgi x. 32 to jego wynik. Liczbę, której szukamy, czyli x nazywamy logarytmem o podstawie 2 z 32. Logarytmy o podstawie 2 z 32 równa się x.

Wróćmy zatem do wirusa i liczby infekcji. Po trzech dniach 2 razy 2 razy 2 osób jest zarażonych. 2 do 3 potęgi. To daje nam 8. Po czterech dniach 2 do 4 potęgi osób jest zarażonych.

To już 16. Po pięciu dniach 2 do 5 potęgi osób jest zarażonych. To … 32! Mamy to! Teraz wiemy, że logarytm o podstawie 2 z 32 równa się 5.

To właśnie jest logarytm. A liczba, logarytm o podstawie 2 z 32, jest zapisana w formie logarytmicznej. Oto kolejny przykład. Podstawa, która ponownie wynosi 2 i wykładnik wynoszący 3. Ta liczba jest zapisana w formie notacji wykładniczej.

Notacja wykładnicza i logarytmiczna ze sobą powiązane. Popatrzcie tutaj: 2 do 3 potęgi, czyli 2 razy 2 razy 2, równa się 8. Logarytm o podstawie 2 z 8 równa się 3. Ponieważ 2 należy podnieść do 3 potęgi, aby uzyskać wynik 8. Spójrzcie na te wyrażenia.

Czy widzicie, że liczby 2, 3 i 8 są w obu tych zapisach, bez względu na to, który z nich zastosujecie? 2 to podstawa. 3 jest wykładnikiem w notacji wykładniczej oraz wynikiem logarytmu. 8 jest wynikiem notacji wykładniczej oraz liczbą, z której składa się logarytm. Oto związek między notacją wykładniczą i formą logarytmiczną.

Logarytm odpowiada na pytanie: Do jakiej potęgi należy podnieść daną podstawę, aby uzyskać określony wynik? Spójrzmy na inny przykład. 3 do potęgi x równa się 81. Teraz szukamy wartości wykładnika x. A odpowiedź otrzymujemy dzięki… logarytmowi.

Podstawą notacji wykładniczej jest 3. Więc szukamy logarytmu o podstawie 3 . Wynik notacji wykładniczej to 81. Więc szukamy logarytmu o podstawie 3 z 81. Spróbujmy to obliczyć.

3 razy 3 to 9. 3 razy 3 razy 3 to 27. 3 razy 3 razy 3 razy 3 to … 81. 3 pomnożone przez siebie 4 razy! 3 do 4 potęgi.

Tak więc logarytm o podstawie 3 z 81 równa się [kichnięcie] - 4! Świetnie! Teraz ja też się zaraziłem!