Irrationella tal

Har du lärt dig vad naturliga tal, heltal och rationella tal är är det dags att gå vidare. Och för att gå vidare så behöver vi de irrationella talen. Minns du att rationella tal är de tal som kan anges som ett bråk av två heltal? I antikens Grekland så trodde matematiker länge att alla tal kunde beskrivas som en kvot av två heltal. En dag, för sådär en 2500 år sen, upptäckte en kille som kanske hette Hippasus att det här inte stämde riktigt.

Han insåg, att det fanns tal som inte kunde skrivas ut i bråkform. faktum är att de kunde inte ens beskrivas fullständigt över huvudtaget! Den här upptäckten gjorde de andra matematikerna så arga att de slog ihjäl honom… eller drev honom i exil. Vi vet inte riktigt vad som hände, men de var långt ifrån glada. Tal som inte är rationella kallas för irrationella.

Det betyder inte att de beter sig konstigt eller ologiskt, bara att de inte kan skrivas ut som ett bråk. Bland de irrationella talen känner du nog igen det här. Det är den grekiska bokstaven Pi som anger förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter. Andra irrationella tal är kvadratroten av två, Eulers tal “e” och det gyllene snittet. Men det finns fler.

Oändligt många fler, för att vara exakt. När du skriver tal i decimalform kan du se vilka som är rationella och vilka som är irrationella. Ett rationellt tal i sin decimalform har antingen ett ändligt antal decimaler som tre fjärdedelar eller sju åttondelar. Eller repeteras decimalerna, som för en tredjedel, fem niondelar, nio elftedelar eller sju tolftedelar. De irrationella talen har däremot en oändlig decimalföljd som inte upprepas.

Kvadratroten av de flesta talen är irrationella, förutom för tal som är perfekta kvadrater. Ett, fyra, nio, sexton och så vidare är kvadraten av ett, två, tre och fyra. De är exempel på perfekta kvadrattal. Roten ur en perfekta kvadrat är rationell, alla andra kvadratrötter är irrationella. Här är en intressant sak med irrationella tal: På tallinjen ryms det hur många rationella tal som helst mellan två heltal - oändligt många.

Men det finns fortfarande tal som inte kan skrivas ut som bråktal - det är de irrationella talen. Det finns alltså hål i tallinjen som inte kan fyllas ut ens med ett oändligt antal rationella tal. För att fylla ut de här hålen behövs de irrationella talen som det också finns ett oändligt antal av. Tillsammans så fyller de irrationella och rationella talen upp varje hål på tallinjen och gör att det blir just en sammanhängande linje. Tillsammans så kallas de rationella och irrationella talen för reella tal.

Därför kallas också tallinjen ibland för den reella tallinjen. Talmängden bestående av alla reella tal skrivas som stora R. Här är en tallinje. De reella talen fyller upp varje punkt, utan några hål. Bland de reella talen finns heltalen, som är både positiva och negativa.

De positiva heltalen och noll är de naturliga talen. Mellan heltalen finns resten av de rationella talen, de som kan skrivas som ett bråk... Och inklämt mellan de rationella talen finns de irrationella som inte kan skrivas som ett bråk. Rationella och irrationella tal täcker varenda punkt på linjen och kallas tillsammans för reella tal. Hela figuren utgörs av de reella talen.

De irrationella och de rationella är två separata talmängder. Bara de rationella talen innehåller heltalen och de naturliga talen. På den sidan av bilden ingår den mindre talmängden i den större.