Det binära talsystemet

Maria och Lina brukar spela fotboll tillsammans efter skolan. De bor på var sin sida vägen, precis mitt emot varandra. Båda två har en lampa i sitt köksfönster. Maria kan se Linas lampa, och Lina kan se Marias. De har bestämt att om lampan är tänd, så betyder det “vi ses på fotbollsplanen”.

Ibland är de mer sugna på att gå och bada än att spela fotboll, och Lina föreslår att de skall sätta upp varsin lampa till i sina köksfönster, som betyder “vi ses på stranden”. Det här är viktigt! Har du tänkt på en sak? Om vi hade en tredje lampa i våra köksfönster, så kunde den betyda “vill du komma hem till mig och se på film”! Vi behöver inte en lampa till.

Två räcker. Om både lamporna är tända, så betyder det “kom och kolla film hos mig”. Smart! Vi har redan tre lampor. Eller jag menar, vi har tre meddelanden.

Med hjälp av två lampor. Om vi skaffar en lampa till, hur många meddelanden kan vi skicka då? Vi testar! Så här skriver jag. Medelande ett - första lampan - fotboll, är ju självklart Meddelande två - andra lampan - stranden Meddelande tre - både första och andra lampan - kolla film.

Den har vi ju kommit överens om. Meddelande fyra - bara den tredje lampan. Vad skall det betyda då? Plugga? Lite halvtråkigt, men vi är ju ändå bäst i klassen Ja.

Kolla här! Tre lampor räcker hur långt som helst! Fem! - första och sista lampan. Sex! - de två sista. Sju - allihopa!

Sju olika kombinationer med tre lampor. Alla kan vara släckta också. Om alla är släckta så betyder det “kan inte idag?”. Bra. Det blir åtta kombinationer.

Tre lampor, åtta meddelanden. Maria och Lina har just upptäckt det binära talsystemet. Det binära talsystemet - eller bas-två - har två siffror, istället för tio, som vi är vana vid. Ja, fast Maria och Lina använder tänd och släckt, istället för siffror, men det fungerar lika bra. Antalet meddelanden som Lina och Maria kan skicka med sitt binära system är två upphöjt till så många lampor som de har.

Två upphöjt till tre är åtta. Skaffar de en fjärde lampa kan de skicka 16 meddelanden. Med fem lampor har de 32 möjligheter. För varje ny lampa fördubblas antalet möjliga kombinationer. Tänk så här.

När de ställde dit den tredje lampan, så kunde de först låta den vara släkt, och fortfarande göra samma kombinationer med de tidigare lamporna. Sen kan de tända den nya lampan, och göra alla de gamla kombinationerna en gång till. Jämför övre och undra halvan av tabellen. De är likadana så när som den vänstra lampan. Det här sättet att koda information - med talbasen två - tänd eller släkt - är vanligare än du kanske tror.

Elektroniken i din dator och telefon hanterar all information så här. Fast man brukar skriva det så här istället. Med ettor och nollor. Precis som med det vanliga decimala talsystemet, så är det binära talsystemet ett positionssystem, där varje position, eller plats, har ett värde. Den högra position är värd 1, precis som vanligt.

Men där vi brukar ha tiotal, där har vi tvåtal. Och sen, där vi brukar ha hundratal, har vi istället fyrtal. Titta på raden som betyder fem. Den har ett fyrtal, noll tvåtal och ett ental. Fyra plus ett är fem.

Här kommer ett lite svårare exempel - ett femsiffrigt binärt tal. Längst till vänster är positionsvärdet 16. Nästa är åtta, sen fyra, två och ett. Det binära talet 10100 betyder ett 16-tal noll 8-tal, ett 4-tal, noll 2-tal, och noll 1-tal. 16 plus noll, plus fyra, plus noll, plus noll, är lika med 20.

Talbaser hänger ihop både med positionsvärde och potensuttryck. Om du har förstått de begreppen, kan den här tabellen hjälpa till att förstå talbaser. Titta här: Varje positionsvärde kan skrivas som ett potensuttryck, där basen i potensuttrycket är talbasen. Och den är två, eftersom vi jobbar med det binära talsystemet. Som exponent använder vi positionen, och börjar med noll längst till höger.

Talbas upphöjt till position är lika med positionsvärde. Nu får du det binära talets värde genom att multiplicera positionsvärdet med siffran som står i den positionen, och sedan summera alltihop. Så här: Ett gånger sexton. Och sextontal skriver vi som två upphöjt till fyra. Plus noll åtta-tal.

Plus ett fyrtal, och fyra skriver vi som två upphöjt till två. Plus noll tvåtal. Plus noll ental. Det blir 20! Titta hur entalen är skrivna: Som två upphöjt till noll.

Vilket tal som helst upphöjt till noll är ju lika med ett. Det här ser lite komplicerat ut. Men om du skriver ut talet så här, så är det lättare att förstå relationen till det decimala talsystemet. Vi skriver decimalt på samma sätt för att jämföra Varje positionsvärde skrivs om ett potensuttryck. I det potensuttrycket är basen tio samma som talbasen.

Och exponenten är positionen. Det är noll tiotusental, noll tusental och noll hundratal. Sen kommer tiotal, de är två stycken. Och så noll ental. Summa 20.

Så ett noll ett noll noll binärt är samma sak som 20 decimalt. Men det här ser ju väldigt märkligt ut. Så vi skriver ut talbasen efter talet, för att kunna hålla isär talsystemen. Annars är det lätt att det blir missförstånd. Men missförstånd kan ju vara roliga också.

Linas nya t-shirt, till exempel. Häng kvar på bilden så du hinner läsa och förstå.