Introduktion till geometri

På stenåldern, behövdes inte så mycket matematik. Men, när de första civilisationerna tog form, för runt 5000 år sedan, då blev livet allt mer komplicerat, och det uppstod fler tillfällen när man behövde räkna ut saker. Den här bondens tre barn skall ärva hans åkrar, och han behöver veta hur stora de är. Hur räknar han ut det? De här två fiskarna skall ha en ny mast till sin båt, och behöver räkna ut om trädet är tillräckligt högt.

Och här är en brunn, hur mycket vatten ryms i den? För att kunna svara på såna här frågor behövde människorna hitta metoder att mäta och räkna ut längder, ytor, vinklar och volymer. Och det gjorde de. Det mesta av den geometri som du lär dig i grundskolan utvecklades faktiskt under den här perioden, för mellan 5000 och 2000 år sedan. Många gånger gjorde människor på olika platser i världen samma matematiska upptäckter, utan att känna till att någon annan redan klurat ut en lösning på just det problemet.

Några platser där vi vet att människor var tidiga med att lösa geometriska problem var Indusdalen i dagens Pakistan, Babylonien, där Irak ligger idag och Egypten. För 2300 år sedan levde Euklides, i Alexandria. Han var en skicklig matematiker, men inte bara det. Han skrev också sammanlagt 13 böcker, där han sammanfattar all kunskap om geometri som var känd i Egypten vid den här tiden. Och det var ganska mycket.

Vi börjar med en kvadrat. Den känner du säkert igen. Den har en längd och en bredd, men ingen tjocklek. Den är alldeles platt. Vi kan vrida lite på den, så blir det lättare att se.

Längd och bredd: Två dimensioner. Kvadraten är en 2-dimensionell figur. Nu tar vi bort tre av sidorna på kvadraten. Vad får vi kvar då? Ett rakt streck?

Vi kan kalla det så, men inom geometrin heter det egentligen ett linjesegment. Och nu finns det bara en dimension: Längden. Ingen bredd, ingen yta, ingen tjocklek, bara längd. En dimension. Så tar vi bort längden också, och behåller bara en punkt.

Pricken du ser här är kanske en millimeter i diameter. Men nu pratar vi om geometri. Och då är det inte en prick, utan en punkt. Och i geometrin har punkter ingen storlek alls. En punkt har noll dimensioner, ingen längd, ingen bredd och ingen höjd.

Den är bara en position, en exakt plats. Men den kan finnas i en tredimesionell rymd, i ett rum. Punkten befinner sig på en plats som kan beskrivas i breddled, i höjdled och i djupled. Ibland kallar vi dem x, y och z. Just det här sättet att beskriva positioner finns inte med i Euklides Elementa-böcker.

Det var först på 1600-talet som fransmannen René Descartes hittade på det här systemet. Men Euklides skulle nog ha gillat det om han kunde se det. Här är i alla fall en punkt till. Har vi två punkter kan vi dra en linje genom dem. En linje är oändligt lång, har ingen bredd eller tjocklek, och är helt rak.

Om linjen går från en punkt, genom en annan och vidare mot oändligheten, då är det en stråle. Och klipper vi av strålen vid den andra punkten, då har vi vårt linjesegment igen. Där har du dem, de tre endimensionella geometriska formerna: Linje, stråle och linjesegment. Skall vi släppa in den andra dimensionen? Där har vi våran kvadrat igen.

Och en triangel, och en cirkel. En rektangel, och en romb. Det finns många tvådimensionella geometriska figurer. De är platta, saknar helt tjocklek. Du kan mäta deras area, ytan alltså, i till exempel kvadratmeter.

Men de har ingen volym. Om vi väcker den tredje dimensionen till liv också, då kan vi göra former som har volym - en kub, ett rätblock, en cylinder, en tetraeder och ett klot till exempel. De har längd, höjd och bredd. De har en yta som går att mäta, men också en volym - en kropp, ett innehåll som tar plats. Som kan fyllas med luft, eller vatten, och mätas i liter eller kubikmeter.

De här figurerna har tre dimensioner, och i de här tre dimensionerna uppför sig figurerna som du är van vid: En triangel kan inte ha fler än en rät vinkel och två parallela linjer möts aldrig. lines never meet. Det finns andra geometrier, där andra regler gäller . Men de får du lära dig om en annan gång. Ännu så länge nöjer vi oss med vanlig skolgeometri, eller Euklidisk geometri som vi brukar kalla den, som en hyllning till gamle Euklides.