Triangeln och dess vinklar

Triangeln är kanske den viktigaste av månghörningna. Du kan nämligen dela upp vilken månghörning som helst i trianglar. Och kan du sen räkna ut area, vinklar och vinkelbenens längd på trianglarna, så kan du räkna ut nästan vad som helst. Vinklarna i en triangel har en speciell egenskap. Om du mäter dem riktigt noga, och adderar dem tillsammans, så får du alltid summan 180 grader.

Det här är en rätvinklig triangel, så en av vinklarna är 90 grader. De andra är 53 och 37 grader. 90 + 53 + 37 är lika med 180 grader. Vinkelsumman av en den här triangeln är 180 grader. Och det är den för alla andra trianglar också.

Om du ritar en triangel med linjal på ett papper, klipper ut den, och river av hörnen. Då kan du lägga hörnen intill varandra, så här. De bildar en en halv cikel, och en halv cirkel, den är ju 180 grader. Hur du än ritar din triangel, så bildar alltid hörnen en halvcirkel om du lägger ihop dem på det här sättet. Triangeln till vänster är likbent.

Det ser du på att två av benen är markerade med tvärstreck - de är lika långa. Eftersom de två benen är lika långa, så kommer också de här två vinklarna att vara lika stora. Vi markerar det med ett tvärstreck genom de vinkelbågar som är lika. Eftersom vi vet hur stor den övre vinkeln är, så kan vi räkna ut hur stora de två nedre, lika vinklarna är. Alla tre vinklarna tillsammans är 180 grader.

Och 35 av de 180 utgörs av den övre vinkeln. Då har vi 145 grader kvar. De två nedre vinklarna skall vara lika stora. Så de måste vara 145 grader delat på två. De två lika vinklarna är alltså 72 och en halv grad.

Den här triangeln är liksidig. Alla sidorna är lika långa. Och om sidorna i en triangel är lika långa så måste också alla vinklarna vara de samma. Försök gärna rita en liksidig triangel där vinklarna inte är lika, så kommer du märka varför det är omöjligt. Vi skulle kunna markera de lika vinklarna genom att sätta dit tvärstreck här också, men nu nöjer vi oss med att alla har varsin likadan vinkelbåge.

Tre lika vinklar, som skall bli 180 grader tillsammans, innebär att var och en av dem måste vara en tredjedel av 180 grader. 180 genom tre är 60. I en liksidig triangel är alltid alla de tre vinklarna precis sextio grader. Det behöver du aldrig mäta eller räkna ut. För det kan aldrig vara på något annat sätt med en liksidig triangel.

Vinkelsumman i en triangel är alltid 180 grader. Känner du till två av vinklarna i en triangel, så kan du räkna ut den tredje. En rätvinklig triangel har en vinkel som är 90 grader. En likbent triangel har två lika vinklar. En liksidig triangel har tre vinklar som alla är 60 grader.

Allt det här sant för trianglar som ritas på en plan yta. Men prova gärna att rita en triangel på en boll. Då kan nästan vad som helst hända. Du kan rita en triangel som har tre räta vinklar, till exempel. Men då är du inte kvar i den Euklidiska geometrin längre.