Pythagoras sats

Det här är Pythagoras. Ytterligare en av de gamla grekerna. Han levde ett par sekel före Euklides, för ungefär 2500 år sedan, på ön Samos i den Grekiska skärgården i Egeiska havet. Pythagoras var matematiker och filosof. Idag är han mest känd för pythagoras sats.

Det är en matematisk formel som beskriver hur längden på de tre sidorna i en rätvinklig triangel förhåller sig till varandra. Det mesta tyder på att det här sambandet redan var känt i Grekland när Pythagoras skrev ner det. Och förmodligen upptäckte matematiker i Kina och Indien samma sak på egen hand, kanske till och med ännu tidigare. Men vi kallar ändå den här formeln för Pythagoras sats. Så här ser den ut om man ritar den - Pythagoras sats: börja med en rätvinklig triangel.

Låt var och en av sidorna bilda en kvadrat. Om du nu lägger ihop ytorna av de två mindre kvadraterna, så får du exakt samma yta som den större kvadraten. Pausa filmen och räkna rutorna så får du se själv. Den större kvadraten är 5 x 5, 25 rutor. Den mellersta är 4 x 4, 16 rutor.

Och den minsta är 3 x 3, 9 rutor. Och 25 är lika med 16 + 9. Eller mer generellt: Kvadraten av den långa sidan är lika med summan av kvadraterna av de två kortare sidorna. Det här fungerar för alla rätvinkliga trianglar. Här kommer två begrepp du behöver känna till: Den långa sidan av en rätvinklig triangel kallas hypotenusan och de två kortare sidorna är kateter.

Ofta kallar vi hypotenusan för c och kateterna för a och b. Nu kan vi skriva Pythagagoras sats som: c i kvadrat är lika med a i kvadrat plus b i kvadrat. För att använda Phytagoras sats behöver du kunna hantera ekvationer. Här är en rätvinklig triangel, där vi känner till de båda kateternas längd, men inte hypotenusan. Sätt in värdena i pythagoras sats.

c i kvadrat är lika med 5 i kvadrat plus 12 i kvadrat. Beräkna kvadraterna och summera. Nu kommer det intressanta. Vad gör du för att gå vidare härifrån? Hypotenusan i kvadrat är 169.

Hur löser du upp ett potensuttryck? Motsatsen till potensuttryck är ju rotuttryck. Så vi tar roten ur båda sidor av ekvationen. Roten ur c i kvadrat, är lika med roten ur 169. Roten ur c i kvadrat är c.

Det var ju därför vi tog till rotutrrycket. Slå roten ur 169 på räknaren, så får du 13. Hypotenusan c är 13. Pythagoras sats fungarar på alla rätvinkliga trianglar, men inte på några andra typer av trianglar. Kvadraten av den långa sidan, hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på de två kortare sidorna, kateterna.

För att lösa ett problem med Pythagoras sats, ersätt de värden du har och lös ekvationen. Ta roten ur båda leden när du har isolerat det okända värdet i kvadrat på ena sidan. Här kommer en bonus. Ta en rätvinklig triangel och låt båda kateterna ha längden 1. Hyptenusan är ett irrationellt tal, roten ur två.

Det var det här som Hippasus upptäckte, och som retade gallfeber på Pythagoréerna, för de trodde att alla tal måste vara rationella. Titta på lektionen om irrationella tal, om du vill veta mer.