Avståndet mellan två punkter

Här är två punkter. Hur långt är det mellan dem? Hur mäter vi avståndet mellan A och B? Vi kan använda linjal eller måttband. Om du tittar på den här filmen på mobilen och använder linjal får du två och en halv centimeter.

När du tittar på den här filmen på projektorduk och använder linjal får du 55 centimeter. Det var inte samma resultat! Finns det något bättre sätt? Vi kan räkna ut avståndet istället för att mäta. För att kunna räkna ut avståndet behöver vi ett koordinatsystem.

Sådär, nu ligger punkterna i ett koordinatsystem! Punkt A:s x-värde läser vi av rakt under punkten på x-axeln: 5. På samma sätt med punkt B. Rakt under B läser vi av 1 på x-axeln. Differensen är 5 minus 1 som är lika med 4.

Avståndet är 4. Nu vet vi inte om det är centimeter, meter eller någon annan längdenhet, så vi säger helt enkelt att svaret är 4 längdenheter. Men om punkterna är placerade så här då? Om vi tittar på skillnaden i x-värde för punkterna blir svaret: noll längdenheter. Däremot ser vi att på y-axeln, får punkt A värdet två och punkt B värdet minus ett.

Skillnaden blir två minus minus ett, och eftersom minus och minus blir plus så blir det 2 plus 1 som är lika med 3 längdenheter. Det här var ju ganska lätt! Men hur blir det om punkterna varken ligger längs med x-axeln eller y-axeln? Om de till exempel ligger så här? Den ena punkten ligger över x-axeln och den andra under diagonalt.

Testa att läsa av mot x-axeln! Fyra. Nej, det blir för kort, eller hur? Mot y-axeln då? Tre?

Nej, också för kort. Hur? Här kommer ett knep! Vi ritar en rätvinklig triangel. Markera avståndet vi ska mäta, med en linje, från A till B.

Sen - från B en linje till höger längs x-axeln och sen från A ner till den linjen. Avståndet mellan punkterna är den långa sidan i den rätvinkliga triangeln. Den sidan kallas för hypotenusan. Och de här två avstånden, de kan vi ju lätt läsa av på x- och y-axeln. De korta sidorna i den rätvinkliga triangeln kallas för kateter.

Men det här verkar bekant eller hur? Hypotenusa, kateter, rätvinklig triangel... Pythagoras sats! Vi kan räkna ut hypotenusan, den längd vi söker, med Pythagoras sats. Punkt A har värdet 5 på x-axeln och 2 på y-axeln.

Vi visar det genom att skriva 5 och 2 i en parentes där första värdet är x och andra är y. Vid punkt B är x lika med 1 och y lika med -1. Ena katetens längd, som vi kan kalla lilla a, har vi tidigare räknat ut och den fick vi till 4. Andra katetens längd, som vi kan kalla lilla b, har vi också räknat ut och den är 3. Enligt Pythagoras sats är c kvadrat lika med a kvadrat plus b kvadrat.

Ta kvadraten av sidorna a och b. Det är 4 gånger 4 lika med 16 och 3 gånger 3 lika med 9. c kvadrat blir då 16 plus 9 lika med 25. Ta roten ur c kvadrat för att få sträckan c, som alltså är avståndet mellan punkterna. Roten ur 25 är 5.

Avståndet mellan punkt A och punkt B är 5 längdenheter. Vad bra! Nu kan vi mäta alla avstånd mellan två punkter som ligger i ett koordinatsystem. Vad ska vi ha det här till då? Jo, titta här...

Vi kan använda den här metoden för att beräkna avståndet på en karta, en karta är ju ett jättelikt koordinatsystem. Men på kartan kallar vi x-värdena för longitud och y-värdena för latitud.