Ränta på ränta

Michael vill köpa en ny moped. Oj, den kostade visst ganska mycket pengar. Kolla med banken, Michael, om du kan låna pengarna! Det gick snabbt! Vad sa de?

Tio procents ränta? Okej. Och hur länge har du tänkt låna pengarna? Fem år. Vi hjälper Michael att räkna.

Vi har tiden här och Michael lånar pengarna här när tiden är noll. Här vid ettan, har det gått ett år. Då är Michael skyldig: kapitalbeloppet plus kapitalet gånger räntesatsen. Vi kan uttrycka samma sak så här: kapitalet gånger 1,1. Det betyder att skulden har ökat med 10 procent.

Pausa gärna filmen och kontrollräkna att de här olika sätten att beskriva skulden betyder exakt samma sak. När vi pratar om lån är det praktiskt att välja det här sättet att skriva. Det är: kapitalet multiplicerat med förändringsfaktorn. Förändringsfaktorn är: ett plus räntesatsen. Den här ettan betyder kapitalet.

Och efter decimalkommat kommer räntan, tio procent. Sen går det ett år till. Hur mycket är Michael skyldig då, efter två år? Skulden hade ju ökat med 10 procent efter ett år – betyder det att den har ökat med 20 procent efter två år? Nej, det räcker faktiskt inte.

För banken räknar inte med enkel ränta. Så här tänker banken: När ett år har gått, då är Michael inte bara skyldig det belopp som mopeden kostade; utan dessutom första årets ränta. Så nu är han skyldig lite mer pengar sammanlagt. Efter två år kommer banken att beräkna den nya räntan på summan av det lånade kapitalet och första årets ränta. År tre händer samma sak: banken beräknar den nya räntan på den totala skulden, inklusive räntan från de tidigare åren. För varje år läggs ny ränta till skulden och skulden växer.

Och eftersom skulden är större blir också räntebeloppet större för varje år. År fyra. År fem. Det här kallas för ränta på ränta, eller sammansatt ränta. För att räkna kan vi ställa upp det så här: Efter ett år är Michael skyldig: kapitalet gånger 1,1. Och efter två år är han skyldig det beloppet, också multiplicerat med 1,1. Slå det på räknaren och se hur stor skulden är efter två år.

Ser du vad som har hänt? Skulden har ökat med 21 procent. Pausa gärna filmen och kontrollräkna om du tycker det verkar konstigt. Kom ihåg att banken tar ränta på hela det ursprungliga kapitalet plus första årets ränta. Efter tre år beräknar banken räntan på hela det ursprungliga kapitalet och två års ränta.

Så vi multiplicerar alltihop med 1,1. År fyra gör vi likadant. Och år fem. Hur mycket är Michael skyldig vid slutet av år fem? Du kan slå allt det här på räknaren och se efter. Men vi kan faktiskt göra det lite enklare först.

Den här biten känner du kanske igen? Det är en upprepad multiplikation och såna kan vi ju byta ut mot potensuttryck. 1,1 multiplicerat med sig själv fem gånger är lika med 1,1^5 Beräkna potensuttrycket först. Där har du förändringsfaktorn för hela låneperioden: 1,61. Totalt är skulden efter fem år: Ursprungligt kapital gånger 1,1 upphöjt till fem Där har vi beloppet Michael ska betala tillbaka till banken efter fem år.

Tio procents årlig ränta, i fem år, med sammansatt ränta gör att en skuld ökar med 61 procent. Hade banken istället använt enkel ränta hade samma skuld bara växt med 50 procent. Men nu betalar Michael ränta på räntan, och då växer skulden fortare och fortare och fortare.