Optimal omkrets och area

Maria tänker bygga ett växthus av glas. För att få plats med alla växter hon vill, måste växthuset måste vara 36 kvadratmeter stort. För att det ska bli enkelt att bygga har hon valt en rektangulär form. Glas är dyrt, så hon vill använda så lite som möjligt. Hon vill att omkretsen av glas runt växthuset ska vara så liten som möjligt.

Det är det bästa, det optimala att göra. Hur gör vi det? Vi testar lite grann.. 12 meter gånger 3 meter ger arean 36 kvadratmeter. Omkretsen är då 12 plus 3 plus 12 plus 3, lika med 30 meter.

Men med 9 meters längd behövs en bredd på 4 meter för att få arean 36 kvadratmeter. Då är omkretsen 9 plus 4 plus 9 plus 4, lika med 26 meter. Det är en mindre omkrets, ett mer optimalt resultat. Hur kan vi veta när vi får fram det bästa resultatet, den minsta omkretsen? För att ta reda på det använder vi bokstäver, variabler, för längden och bredden.

Om längden på växthuset är x och bredden är y så är formeln för arean: x gånger y. Maria vill ha ett växthus som är exakt 36 kvadratmeter. Det är hennes begränsning av arean. x gånger y lika med 36 är då begränsningsformeln. Omkretsen är x plus y plus x plus y, lika med 2x plus 2y.

Marias önskade, optimala, resultat är att minimera omkretsen. Formeln för omkretsen är optimeringsformeln. Vi använder två okända värden, x och y, för att räkna ut omkretsen. Men det skulle vara lättare om vi bara hade ett okänt värde. Formeln går att göra om, så att den bara innehåller ett okänt värde.

Vi väljer x, längden. Och nu tillbaka till begränsningsformeln: x gånger y lika med 36 Dela båda sidor om likhetstecknet med x. y är alltså lika med 36 delat med x. Sen ersätter vi y i optimeringsformeln med 36 delat med x. Omkretsen är 2x plus 2y, lika med 2x plus 2 gånger 36 delat med x och 2 gånger 36 är 72.

Pausa filmen och kolla att det stämmer. Nu gör vi en tabell där vi sätter in olika värden på växthusets längd, x, och ser vad vi får för omkrets. I första kolumnen, A, skriver vi in x-värdet. I nästa kolumn, B skriver vi in formeln för omkretsen: 2x plus 72 delat med x. De billigaste glasrutorna som Maria hittat har bredden 1 meter.

Därför ökar vi x med ett varje gång i kolumn A. Om x är lika med 1 är omkretsen 2 gånger 1 plus 72 delat med 1, lika med 74. Sen ökar vi x till 2 och räknar ut omkretsen igen. Vi ser att omkretsen minskar när x ökar. Men när x blir 7 börjar omkretsen att öka!

Av alla de värden på x som vi undersökt, får vi den minsta omkretsen när x är lika med 6. Då är bredden, y, lika med 36 delat med 6, som är 6. Om Maria bygger ett växthus med längden 6 meter och bredden 6 meter får hon 36 kvadratmeter. Växthuset ska ha formen av en kvadrat. Det ger den minsta omkretsen, det optimala resultatet, för Maria.