Logaritmer

Ett smittsamt virus tar sig in i ett samhälle. En sjukdom börjar sprida sig. Varje dag smittas dubbelt så många människor som dagen innan, alltså två gånger så många. Idag smittas 1 person. Imorgon smittas 2 personer.

Efter 2 dagar smittas 2 gånger 2 personer. Alltså 2 upphöjt till 2. Efter 3 dagar smittas 2 gånger 2 gånger 2 personer. 2 upphöjt till 3. Och så vidare.

Dubbelt så många nya smittade varje dag. Efter hur många dagar är det 32 personer som smittas? 2 gånger 2 gånger 2 gånger ... ja, hur många tvåor ska vi multiplicera med innan resultatet är 32? Annorlunda uttryckt, vad ska 2 upphöjas till för att ge resultatet 32?

2 upphöjt till något, som vi kallar x, är lika med 32. Vad är detta något, alltså x? Först ska vi påminna om att 2 är basen i talet 2 upphöjt till x. 32 är resultatet. Talet vi söker, talet x, kallar vi för bas-2-logaritmen av 32.

Bas-2-logaritmen av 32 är alltså lika med x. Nu går vi tillbaka till viruset och smittan. Efter 3 dagar smittas alltså 2 gånger 2 gånger 2 personer. 2 upphöjt till 3. Det är 8.

Efter 4 dagar smittas 2 upphöjt till 4 personer. Det är 16. Efter 5 dagar smittas 2 upphöjt till 5 personer. Det är … 32! Där har vi det!

Nu vet vi att bas-2-logaritmen av 32 är lika med 5. Det här är en logaritm. Och talet, bas-2-logaritmen av 32, är skrivet i logaritmform. Här står ett annat tal. Det är en bas: det är 2 igen, och en exponent: 3.

Talet står i exponentialform. Exponentialformen och logaritmformen hör ihop. Så här: 2 upphöjt till 3, alltså 2 gånger 2 gånger 2, är lika med 8. Bas-2-logaritmen av 8 är lika med 3. Därför att 3 är det tal som 2 ska upphöjas till för att resultatet ska vara 8.

Titta på uttrycken. Ser du att talen 2, 3 och 8 finns med, vilken form vi än väljer? 2 är basen. 3 är exponenten i exponentialformen, och resultatet av logaritmen. 8 är resultatet av potensuttrycket, och talet inne i logaritmen.

Det är sambandet mellan exponentialform och logaritmform. Logaritmen svarar på frågan: vad ska en viss bas upphöjas till för att få ett visst resultat? Vi tittar på ett exempel till. 3 upphöjt till x är lika med 81. Nu söker vi värdet på den där exponenten, x.

Och svaret får vi av … en logaritm. Basen i det exponentiella uttrycket är 3. Alltså söker vi en bas-3-logaritm. Och resultatet av det exponentiella uttrycket är 81. Så vi söker bas-3-logaritmen av 81.

Vi prövar oss fram till rätt svar: 3 gånger 3 är 9. 3 gånger 3 gånger 3 är 27. 3 gånger 3 gånger 3 gånger 3 är … 81. 3 gånger sig självt 4 gånger! 3 upphöjt till 4.

Alltså är bas-3-logaritmen av 81 lika med ... attjo! ... 4. Jaha, då blev jag smittad också.