จำนวนอตรรกยะ

หากได้เรียนเรื่องจำนวนธรรมชาติ จำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะไปแล้ว นี่ก็เป็นเวลาที่จะเรียนเรื่องต่อไปแล้ว และเรื่องต่อไปก็คือเซตของจำนวน"อตรรกยะ" จำได้ไหมว่าจำนวน"ตรรกยะ" สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ นักคณิตศาสตร์ในสมัยกรีกโบราณ เชื่อกันมานานแล้วว่า จำนวนทั้งหมดสามารถอธิบาย ได้ว่าเป็นผลหาร ของตัวเลขสองตัว วันหนึ่งเมื่อราว 2,500 ปีก่อน ชายที่อาจมีชื่อฮิปปาซุส ได้ค้นพบว่าสิ่งนี้ค่อนข้างจะไม่จริง เขาตระหนักรู้ว่ามีจำนวนต่างๆ ที่ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ยิ่งไปกว่านั้น มันไม่ได้รับการ อธิบายไว้อย่างถูกต้องเลย การค้นพบนี้ทำให้นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ โกรธมากจนพวกเขาต้องตามฆ่า หรือเนรเทศฮิปปาตุสไป เราไม่รู้หรอกว่าจริงๆแล้วมันเป็นยังไง แต่พวกเขาก็ไม่มีความสุขเลยสักนิด จำนวนที่ไม่ใช่จำนวน"ตรรกยะ" จะเรียกว่าจำนวน"อตรรกยะ" มันไม่ใช่สิ่งแปลกหรือไร้เหตุผลหรอก เพียงแค่มันไม่อาจเขียนเป็นเศษส่วนได้ หนึ่งในจำนวน"อตรรกยะ"ที่เราอาจจำกันได้ นั่นคือ Pi (พาย) เป็นตัวอักษรกรีก ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ ระหว่างเส้นรอบวงของวงกลม กับเส้นผ่าศูนย์กลาง อีกตัวอย่างหนึ่งของจำนวน "อตรรกยะ" ก็คือสแควร์รูท 2, จำนวนของออยเลอร์ หรือ e และอัตราส่วนทองคำ และอีกมากมาย อย่างจำนวนอนันต์ เพื่อจะแน่ใจได้ เมื่อเราเขียนตัวเลขในรูปทศนิยม เราจะบอกได้ว่าจำนวนใดเป็นจำนวน"ตรรกยะ" และจำนวนใดเป็นจำนวน"อตรรกยะ" จำนวน"ตรรกยะ"ในรูปทศนิยม มีการจำกัดจำนวนตัวเลข ที่อยู่หลังจุดทศนิยม อย่าง เศษ 3 ส่วน 4 หรือ เศษ 7 ส่วน 8 หรือมีทศนิยมที่เลขซ้ำๆ อย่างเศษ 1 ส่วน 3, เศษ 5 ส่วน 9 เศษ 9 ส่วน 11 หรือเศษ 7 ส่วน 12 ในทางตรงกันข้าม จำนวนอตรรกยะ จะมีทศนิยมเป็นจำนวนอนันต์เสมอ และไม่เป็นทศนิยมซ้ำ รากที่สองของจำนวนส่วนใหญ่ จะเป็นจำนวน"อตรรกยะ" ยกเว้นพวกกำลัง 2 สมบูรณ์ 1, 4, 9, 16 และอื่นๆ ล้วนเป็นกำลัง 2 ของ 1,2, 3 และ 4 ซึ่งเป็นตัวอย่างของกำลัง 2 สมบูรณ์ รากที่ 2 ของกำลัง 2 สมบูรณ์ จะเป็นจำนวน"ตรรกยะ" แต่รากที่ 2 ที่เหลืออื่นๆจะเป็น จำนวน"อตรรกยะ" นี่คือสิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับ จำนวนอตรรกยะ ในเส้นจำนวนสามารถมีจำนวน"ตรรกยะ" ได้มากมายเท่าต้องการ ระหว่างจำนวนเต็มสองตัว นั่นคือจำนวนอนันต์ แต่ยังมีหลายๆจำนวน ที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได้ จำนวนเหล่านี้คือจำนวน"อตรรกยะ" จะมีรูอยู่ในเส้นจำนวนเสมอ ที่ไม่สามารถเติมเต็มได้ ไม่แม้แต่กับจำนวนอนันต์ ของจำนวน"ตรรกยะ" เพื่อที่จะเติมเต็มรูโหว่เหล่านี้ เราต้องมีจำนวน"อตรรกยะ" ซึ่งมีจำนวนอนันต์อยู่ด้วย จำนวน"ตรรกยะ"และจำนวน"อตรรกยะ" จะเติมเต็มรูโหว่ทุกรูในเส้นจำนวน และทำให้มันปะติดปะต่อกัน จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ เมื่อมารวมกันจะเรียกว่าจำนวนจริง ดังนั้นบางครั้ง จึงเรียกเส้นจำนวน ว่าเส้นจำนวนจริง เซตของจำนวนจริงจะแทนด้วย ตัว R ใหญ่ นี่คือเส้นจำนวน จำนวนจริงจะเติมเต็มทุกๆจุดโดยไม่มีรูโหว่ จำนวนเต็มจะรวมอยู่ในเซตของจำนวนจริง จำนวนเต็มบวกและ 0 จัดเป็นจำนวนธรรมชาติ ส่วนที่เหลือของจำนวนตรรกยะ ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ อยู่ระหว่างจำนวนเต็ม และจำนวนอตรรกยะที่ไม่อาจ เขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ ซึ่งจะเบียดอยู่ระหว่างจำนวนตรรกยะ จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จะครอบคลุมทุกจุดในเส้นจำนวน มันเรียกว่าจำนวนจริง ทั่วทั้งภาพนี้ประกอบด้วยจำนวนจริง จำนวนอตกรรยะและจำนวนตรรกยะ อยู๋ในเซตที่แยกจากกัน เฉพาะจำนวนตรรกยะเท่านั้นที่มี จำนวนเต็มและจำนวนธรรมชาติอยู่ ในด้านนี้ของภาพ จำนวนที่น้อยกว่าจะถูกรวมอยู่ ในเซตของจำนวนที่ใหญ่กว่า