Det här är Pythagoras. Ytterligare en av de gamla grekerna. Han levde ett par sekel före Euklides, för ungefär 2500 år sedan, på ön Samos i den Grekiska skärgården i Egeiska havet.

Pythagoras var matematiker och filosof. Idag är han mest känd för Pythagoras sats. Det är en matematisk formel som beskriver hur längden på de tre sidorna i en rätvinklig triangel förhåller sig till varandra.

Det mesta tyder på att det här sambandet redan var känt i Grekland när Pythagoras skrev ner det. Och förmodligen upptäckte matematiker i Kina och Indien samma sak på egen hand, kanske till och med ännu tidigare. Men vi kallar ändå den här formeln för Pythagoras sats.

Rita Pythagoras sats

Så här ser den ut om man ritar den - Pythagoras sats:

Börja med en rätvinklig triangel. Låt var och en av sidorna bilda en kvadrat. Om du nu summerar storleken av ytorna av de två mindre kvadraterna, så får du exakt samma storlek som på yta på den större kvadraten.

Den större kvadraten är 5 · 5 = 25 rutor stor; den mellersta är 4 · 4 = 16 rutor; och den minsta är 3 · 3 = 9 rutor. Och 25 = 16 + 9.

Eller mer generellt: Kvadraten av den långa sidan är lika med summan av kvadraterna av de två kortare sidorna.

Det här fungerar för alla rätvinkliga trianglar.

Skriva Pythagoras sats

Här kommer två begrepp du behöver känna till: Den långa sidan av en rätvinklig triangel kallas hypotenusa; och de två kortare sidorna är kateter. Ofta kallar vi hypotenusan för c och kateterna för a och b.

Nu kan vi skriva Pythagoras sats som:

c² = a² + b²

Pythagoras sats är användbar när man ska lösa ekvationer med rätvinkliga trianglar.

Här är en rätvinklig triangel där vi känner till de båda kateternas längd, men inte hypotenusan. Sätt in värdena i Pythagoras sats.

c² = 5² + 12²

Beräkna kvadraterna och summera. Nu kommer det intressanta. Vad gör du för att gå vidare härifrån? Hypotenusan i kvadrat är 169. Hur löser du upp ett potensuttryck?

Motsatsen till potensuttryck är ju rotuttryck. Så vi tar roten ur båda sidor av ekvationen.

√c² = √169

Roten ur c² är c. Det var ju därför vi tog till rotutrrycket.

Slå roten ur 169 på räknaren, så får du 13. Hypotenusan C är 13 längdenheter.

Bonus

Vi kollar på en grej till.

Ta en rätvinklig triangel och låt båda kateterna ha längden 1. Vad blir hypotenusan? 1² = 1, så det blir bara 1+1 under rottecknet.

√1 + 1 = √2

Hypotenusan är ett irrationellt tal. Vi har tagit den enklaste tänkbara triangeln och fått ut något så abstrakt som ett irrationellt tal.

Det var det här som Hippasus upptäckte, och som retade gallfeber på Pythagoréerna. De trodde att alla tal måste vara rationella. Titta på lektionen om irrationella tal om du vill veta mer.

Sammanfattning

Pythagoras sats fungerar på alla rätvinkliga trianglar, men inte på några andra typer av trianglar.
Kvadraten av den långa sidan, hypotenusan, är lika med summan av kvadraterna på de två kortare sidorna, kateterna.
För att lösa ett problem med Pythagoras sats, ersätt de värden du har och lös ekvationen. Ta roten ur båda leden när du har isolerat det okända värdet i kvadrat på ena sidan.

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส