Potenser används för att skriva upprepade multiplikationer.

Potensen betyder att du tar basen gånger sig själv så många gånger som exponenten visar, eller hur?

I första exemplet börjar vi med med multiplikation.

Multiplikation med potenser

Att multiplicera två potenser med samma bas är enkelt. Titta på

3² · 3³

Skulle vi skriva detta som gånger skulle det bli

3 · 3 · 3 · 3 · 3 ·

Det blir alltså 3 multiplicerat med sig själv fem gånger. Tittar du på exponenterna på det första talet så ser du att adderar du kan få svaret fem genom att addera exponenterna.

3² · 3³= 3²⁺³ = 3⁵

Division med potenser

Division med potenser fungerar enligt samma princip som multiplikation.

En upprepad multiplikation dividerat med en annan upprepad multiplikation gör att du kan förkorta divisionen.

Vi kollar på ett exempel.

(4 · 4 · 4 · 4 · 4) / (4 · 4 · 4) =

4⁵ / 4³

Eftersom täljaren och nämnaren har gemensamma faktorer kan du förkorta täljaren och nämnaren med 4 · 4 · 4. Kvar får vi

(4 · 4) / 1 = 4 · 4 = 4²

Kolla vad som har hänt med exponenterna. Vi började med 5, och slutade med 2. Vi tog alltså bort 3. Det här är inget sammanträffande, utan precis så kan man räkna.

4⁵ / 4³ = 4^5-3 = 4² = 4 · 4

Exponenten i nämnaren visar hur många faktorer du kan förkorta bort från faktorerna du har i täljaren.

Potenslagarna

Multiplikation av potenser med samma bas är samma sak som att addera expontenterna.

Division av potenser med samma bas är detsamma som att subtrahera exponenterna.

Detta kallar vi den första respektive den andra potenslagen.

Första potenslagen

x^a · x^b = x^a+b

Andra potenslagen

x^a / x^b = x^a-b

Vad händer om du tar en potens, och exponentierar den igen som i bilden till höger?

(2³)²

Just nu ser det svårt ut men om vi skriver ut det som en fullständig multiplikation så ser det enklare ut.

(2³)² = (2·2·2)² =

(2·2·2)·(2·2·2) =

2·2·2·2·2·2 = 2⁶ = 2^2·3

Regeln är att exponentiera ett tal som redan är en potens, är detsamma multiplicera exponenterna.

Detta är viktigt nog för att kalla för lag.

Tredje potenslagen

(x^a)^b = x^(a⋅b)

Du vet att ett tal dividerat med sig själv alltid är ett, eller hur?

Nu vet du också att den andra potenslagen säger att division av potenser med samma bas är detsamma som att subtrahera nämnarens exponent från täljarens.

x⁴/x⁴ = x^4-4 = x⁰

x⁴/x⁴ = 1

Men här får man vara försiktig. Om x är 0 innebär ju det att vi delar på 0. Det får man inte göra. Men så länge x är större än 0 är det lugnt.

Detta är också värt en egen lag.

Fjärde potenslagen

x⁰ = 1

Sammanfattning

Potenser består av en bas och en exponent.

x^a

x är basen och a är exponenten. Hela uttrycket är en potens.

Potenslagarna berättar hur man räknar med potenser.

Första potenslagen

x^a·x^b = x^a+b

Andra potenslagen

x^a / x^b = x^a-b

Tredje potenslagen

(x^a)^b = x^a·b

Fjärde potenslagen

x⁰ = 1

Men var försiktigt med fjärde potenslagen! För att den ska gälla måste x vara ett positivt tal. Det måste vara större än 0, annars gäller den inte.

Степені та показники