Розв’язування квадратних рівнянь шляхом доповнення квадрата

Існують різні способи розв’язування квадратних рівнянь. Ось один, який досить елегантний. Якщо ви знайдете час, щоб дійсно зрозуміти це, ви зможете розв’язати всі квадратні рівняння без використання будь-якої формули. Подивіться на це рівняння. "X-квадрат плюс "чотири x" мінус "п'ять" дорівнює "нулю". Перш ніж використовувати цей метод нам потрібно впорядкувати рівняння. Ми хочемо зібрати всі терміни, які містять x у лівій частині, і ми хочемо, щоб постійний термін праворуч. Тепер у нас є "х-квадрат" плюс "чотири x" зліва -- І п’ять праворуч. Тепер рівняння у формі, яку ми можемо використовувати. Цей «х-квадрат» плюс «чотири х» зліва: Що це насправді означає? Один із способів зрозуміти це - проілюструвати рівняння, шматочок за шматком. По-перше, ми маємо «х-квадрат». Ми можемо показати, що у вигляді квадрата, при цьому кожна сторона дорівнює х. Його площа дорівнює «х помноженому на х»: іншими словами «х-квадрат». Потім є термін «чотири х». Це буде прямокутник зі сторонами х і чотири. Площа, помножена на висоту, дорівнює чотири рази на х. Якщо до прямокутника додати квадрат - Ми отримуємо новий прямокутник із площею «х-квадрат» плюс «чотири х». А «х-квадрат» плюс «чотири х» дорівнює п’яти. Порівняйте це з рівнянням. "X-квадрат" плюс "чотири x" дорівнює п'яти. Тепер ось розумна річ. Беремо ножиці і розріжте маленький прямокутник навпіл. Отримуємо два тонких прямокутника, що обидва мають площу «два х». Потім ми переміщаємо один з них і розміщуємо його сюди. Ми нічого не видалили, ми нічого не додали. Ми щойно перемістили фігури. Отже, ця фігура має таку ж площу, як і спочатку. Площа ще п’ять. Нова фігура виглядає майже як квадрат -- Але тільки майже. У верхньому правому куті відсутня крихітна частина. Чого не вистачає? Невеликий квадрат -- з боку -- два! Ми можемо використовувати цей маленький квадрат завершити велике. Цей метод називається «заповнення квадрата». Тож яка площа цього нового більшого квадрата? Спочатку нас було п'ять, а потім ми завершили двома по два. Площа п’ять плюс чотири, що дорівнює дев’яти. Але тримайся! Існує ще один спосіб опису площі квадрата: сторона... у квадраті! Кожна сторона дорівнює "х плюс два", тому площа дорівнює «х плюс два» у квадраті. І ми вже знаємо, що це дорівнює дев’яти. Завершивши квадрат ми переписали рівняння, яке у нас було спочатку. "X-квадрат" плюс "чотири x" мінус "п'ять" дорівнює "нулю" -- До "x" плюс "два квадрата" дорівнює "дев'ять". Ось ми зробили найважчу частину. Тепер ми збираємося розв’язувати рівняння. І коли ми розв’язуємо рівняння, використовуючи квадратний корінь, є два можливих рішення. Отже, «х плюс два» дорівнює "плюс-мінус квадратний корінь з дев'яти", тобто «плюс-мінус три». "X -один" плюс "два" дорівнює "плюс три". «Х-два» плюс «два» дорівнює «мінус три». У нас є два розв’язки рівняння. "X" дорівнює "один", А "х" дорівнює "мінус п'ять". Отже, ми розв’язали квадратне рівняння шляхом «завершення квадрата». Вам не потрібно малювати і переміщувати прямокутники по паперу. Ми все одно можемо використовувати цей метод. Перевір. Тепер ми збираємося розв’язувати рівняння «Два х-квадрат» мінус "вісім х" плюс "шість" Дорівнює «нулю». Зробимо це крок за кроком. Призупиніть фільм, якщо вам потрібен додатковий час для роздумів. Крок один. Коефіцієнт перед «х-квадрат» має бути «один», тому ми ділимо весь вираз на «два». Ми отримуємо «х-квадрат» мінус «чотири-х» плюс "три" дорівнює "нулю". Крок другий. Зберіть всі доданки з х з лівого боку, і постійний член у правій частині. Переписуємо рівняння до «х-квадрат» мінус «чотири-х» дорівнює «мінус три». Крок третій. Візьміть коефіцієнт перед доданком x, в цьому випадку "мінус чотири" ми збираємося розрізати його навпіл, іншими словами, розділити на два. Результат – мінус два. Крок четвертий, фактичне завершення. Спочатку ми возводимо в квадрат «мінус два» і отримуємо «чотири». Додайте це до обох сторін знака рівності. Ми отримуємо "х-квадрат" мінус "чотири x" плюс "чотири" дорівнює «мінус три» плюс «чотири» дорівнює «один». І дивись! Цей вираз виглядає знайомим. Ми можемо використовувати правило «квадрат бінома». І перейдіть до п’ятого кроку. Тепер запишемо рівняння як "x" мінус "два квадрата", що дорівнює "один". "X мінус два" тоді дорівнює, "плюс-мінус квадратний корінь з одиниці", що означає «плюс-мінус один». «х-один» дорівнює «плюс один плюс два», дорівнює «три». «х-два» дорівнює «мінус один плюс два», дорівнює «один». І ми розв’язали рівняння, так, завершуючи квадрат.